§4.3分部积分法

1§4.3分部积分法一、幂函数与指数函数之积三、幂函数与对数或反三角函数之积四、单独的对数或反三角函数五、三角函数与指数函数之积六、多种方法的综合使用二、幂函数与三角函数之积2vduuvudv应用分部积分法的关键在于v,u的选择是否恰当.v,u的选择原则是:1).v要易求得;2).vdu要比udv易求.说明分部积分法公式vdxuuvdxvu或者3vuuv)(),(xvvxuu设函数具有连续导数，uv由''uvvu得vu两边求不定积分，得vdxuuvdxvuvduuvudv证明：4一、幂函数与指数函数之积xev选dxexxn5dxxex例1.求dx)e(xxdxexCexexx解dxxexxxexxde选取合适的助手由分部积分公式,得xevxu,其中，6解dxexx2例2.求xdex2xdxex2Cexeexxxx22Cxxex222dxexx2xex2xex2xxde2xex2][2dxexexxxex22dxex选取合适的助手注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数的乘积，可设幂函数为u，而将其余部分为v’,使得应用分部积分后，幂函数的幂次降低一次。7二、幂函数与三角函数之积xvsin选xdxxnsinxdxxncos或者xvcos或8xxdsinxsinxCxcosxsinx解xdxcosxxdxsin由分部积分公式,得xdxxcos例3.求xvxusin,选取合适的助手9xdxsinx2例4.求2sinxxdx解)cos()cos(22xdxdxxx2cosxx2cosxdx2cosxx2cosxxdx2cosxx2sin2cosxxxC选取合适的助手注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与正（余）弦函数的乘积，可设幂函数为u，而将其余部分为v’,使得应用分部积分后，幂函数的幂次降低一次。10三、幂函数与对数或反三角函数之积xdxxanlogxdxxnarctan或者nxv选11xdxxln例5.求dxxx)2(ln2dxxx122xxln22xxln22xdx21xxln22Cx42)2(ln2xxdxdxxln选取合适的助手解122arctan2xxdxxxx2211121arctan2Cxxxxarctan21arctan22Cxxx21arctan1212xdxxarctan例6.dxxx2arctan2dxxx221122arctan2xdx选取合适的助手2arctan2xxxdxarctan22解原式13注：若当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数为v’,使得应用分部积分后，对数函数或反三角函数消失。14四、单独的对数或反三角函数xdxalogxdxarctan或者当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。1v选15xdxln例7.xxlnxxdlnxxlndxxx1Cxxxlnxdxln解xxlndx116xdxarccos例8.dxxx21Cx21xxarccosxxarccosxdxarccos解xxarccos221121xdx方法1，换元法方法2,sintx设tdtdxcosdxxx21tdtttcoscossintdtsinCtcosCx21同时用到分部积分法和换元法17五、三角函数与指数函数的乘积或者xdxexsinxdxexcos“打回头”现象xev选)(cossinxxv或18dxexx)(sinxdexsinxdexcosxdxexsinCxxexcossin21例9.xdxexsinxexsinxexsincosxexxexsin于是,xdxexsinxdexsin解xdxexsin“打回头”现象xxdexcosxexsin19注：若当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积，u和v’可随意选取,但在两次分部积分中，必须选用同类型的u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分。20说明在用分部积分法求不定积分时,常出现如下情形:)1()()()(kdxxfkxgdxxf“打回头”现象dxxf)(.)(11Cxgk21六、多种方法的综合使用有时在积分过程中,需要同时用到换元法和分部积分法.22解,2txdttet2Ctet12Cxex12dxex例10.,2tdtdx,tx令dxexttde2)(2dtetett同时用到换元法和分部积分法23解xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明:此题若先求出再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2的一个原函数是求例11.已知抽象函数的积分练习一下243lnsin(lnx)xxdxdx和练习一下答案见例题4和6。194P求25小结两条经验1）分部积分法的四种情况2）多种积分方法的综合使用2）遇到抽象函数的积分要灵活1）分部积分法的关键是选取合适的助手，即选择合适的。v264)14)(11)(8)(5)(2(1196P作业