概率论第一章

概率论与数理统计概率论与数理统计是研究什么的？概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。随机现象：不确定性与统计规律性第一章概率论的基本概念第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其概率分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理第六章数理统计的基本概念第七章参数估计第八章假设检验主要内容第一章概率论的基本概念§1.1随机事件及其运算§1.2概率的定义及其性质§1.3古典概型与几何概型§1.4条件概率§1.5独立性§1.1随机事件及其运算如何研究随机现象呢？1.1.1随机现象自然界的现象按照发生的可能性（或者必然性）分为两类：一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结果在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。1.1.2随机试验E1:抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2:掷一颗骰子，观察出现的点数；E3:记录110报警台一天接到的报警次数；E4:在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5:记录某物理量的测量误差；E6:01，在区间上任取一点，记录它的坐标。例1-1：上述试验具有如下特点：1.试验的可重复性——在相同条件下可重复进行；2.一次试验结果的随机性——一次试验的可能结果不止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；3.全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的，且每次试验有且仅有一个结果出现。在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验。随机试验常用E表示。样本空间:试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间,记为Ω.样本点:试验的每一个可能出现的结果（样本空间中的元素）称为试验E的一个样本点,记为ω.1.1.3随机事件与样本空间1{H,T}；kE分别写出例1-1各试验所对应的样本空间2{123456}，，，，，；3{0123}，，，，；4{|0}；tt5|，；tt6|01，.tt例1-2：例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1，3，5}.它是样本空间Ω的一个子集。事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件：随机事件仅包含一个样本点ω，单点子集{ω}。如，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”，记作A、B、C等。复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。两个特殊的事件必然事件：Ω；不可能事件：φ.既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。§1.包含关系与相等：“事件A发生必有事件B发生”记为AB。A＝BAB且BA.1.1.4事件间的关系与运算ABABΩ2.和（并）事件：“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB或A+B。推广：n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作或iniA1niiA13.积（交）事件:事件A与事件B同时发生，记作AB或AB。推广：n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An或或iniA1iniA14.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而事件B不发生5.互不相容事件（也称互斥的事件）：即事件A与事件B不能同时发生。AB＝。ABAB=Ω推广：n个事件A1,A2,…,An任意两个都互不相容，则称n个事件两两互不相容。若n个事件A1,A2,…,An两两互不相容，且则称n个事件A1,A2,…,An构成一个完备事件组。iniA16.对立（逆）事件AB＝,且AB＝，称为A的对立事件A记作B思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互为对立事件的区别.对立事件一定是互不相容事件，互不相容事件不一定是对立事件交换律：AB＝BA，AB＝BA。.,,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C＝A(BC)。分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)。对偶(DeMorgan)律：7.事件的运算性质1123123123；BAAAAAAAAA0123；BAAA2123123123；BAAAAAAAAA例1-3：某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.3123.BAAA解例1-4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：::::::::::::654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标””“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标””“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA•本节课主要讲授：1.随机现象；2.随机试验和样本空间；3.随机事件的概念；4.随机事件的关系和运算（重点）。小结).(A.,)(,).(,.,,,AfAfnAfAnnAnAnnnnAA的概率就是事件其实这个值的稳定值我们称这个常数为频率数越来越稳定于某一个常会频率的大量增加着试验重复次数通过实践人们发现，随成并记发生的称为事件比值发生的称为事件的次数发生事件次试验中在这次试验进行了在相同的条件下频率频数定义1：§1.2概率的定义及其性质1.2.1概率的统计定义nAn)(Afn试验者德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005在相同的条件下，多次抛一枚均匀的硬币，设事件A=“正面朝上”，观察n次试验中A发生的次数．频率的性质：111012013..（）（）；（）（），（）；（）若与互不相容，有（）（）（）同理可有：（）（）nnnnnnnnnknkkkfAffABfABfAfBfAfA一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的．有放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。nAn()nfA2001390.6954002010.6536004010.668111012013..（）（）；（）（），（）；（）若与互不相容，有（）（）（）同理可有：（）mmkkkkPAPPABPABPAPBPAPA频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：定义2：在相同的条件下进行n次重复试验，当n趋于无穷大时，事件A发生的频率稳定于某个确定的常数p，称此常数p为事件A发生的概率，记作．（）nfA()=PAp注1：概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要的是给了一种估算概率的方法．在实际问题中，事件发生的概率往往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频率值作为概率的近似值．注2：但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的．其次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而容易造成误解．注3：定义2中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为频率的极限，以什么方式趋于概率呢？1.2.2概率的公理化定义定义3：若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性公理：P(A)≥0；(2)规范性公理：P()＝1，P()＝0；(3)可列可加性公理：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….则称P(A)为事件A的概率。性质1概率的性质0()1,()0.PAP性质2（有限可加性）设A1，A2，…,An是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,n，有P(A1A2…An)＝P(A1)＋P(A2)+….＋P(An)性质3（互补性）()=1()PAPA．性质4P(A-B)=P(A)-P(AB).性质5（加法公式）对于任意事件A,B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).推广：2）设A1，A2，…，An是n个随机事件，则nnjinnkjijniiniikjiiAAAPAApAPAP1111)()()()(112(1)().nnPAAA1)()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC性质6（可分性）对任意两事件A、B,有P(A)＝P(AB)＋P(AB),P(B)＝P(AB)＋P(AB)例1-5设A,B为两个随机事件,P(A)=0.5,P(AB)=0.8,P(AB)=0.3,求P(B).解由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.解由性质6可知，例1-6设A,B两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5,求P(AB).P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例1-7设A与B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求P(AB).AB解P(AB)=P()=1-P(AB)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.5+0.3)=0.2例1-8某地一年内发生k起交通事故的概率为!kke，其中0是常数，求当地一年内至少发生一起交通事故的概率．解设kA{该地一年内恰好发生k起交通事故}(0,1,2,)k，A{该地一年内至少发生一起交通事故}．显然1kkAA，又由于事件12,,,,nAAA两两互不相容，所以有11!()1kkkkkPAPAee．本题可采用另外一种解法．A0A{该地一年内未发生交通事故}，于是0()1()1()1PAPAPAe．•本节课主要讲授：1.概率的统计定义；2.概率的公理化定义；3.概率的性质（重点）。小结§1.3古典概型与几何概型1.3.1古典概型2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型（或等可能概型）：1.有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;设事件A中所含样本点个数为r,样本空间中样本点总数为n,则有()().rAPAnrAPAn中样本点数中样本点总数也即所包含的基本事件数基本事件总数古典概型的概率计算公式:例1-9从1,2,…,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率.解基本事件总数n=92,因为第一次取数有9中可能取法,这时可重复排列问题.设A表示“取出的两个数字不同”.A包含的基本事件数9*8因为第一次取数有9中可能取法,为保证两个数不同,第二次取数应从另外的8个数中选取,有8中可能取法,r=9*8,故P(A)=r∕n=9*8∕92=8∕922532813.28CCrPAnC例1-10袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到的两个球颜色相同的概率。解从8个球中任意取两个,共有种取法,即基本事件总数.记A表示“取到的两个球颜色相同”,A包含两种可能:全是白球或全是黑球.全是白球有种取法,全是黑球有种取法,由加法原理知,A的取法共中,即A包含的基本事件数r=28C28nC25C23C2253CC2253CC故解：(1)•例1-11将r个人随机地分配