概率论课件第十五次课

15、设(X,Y)在圆域224xy服从均匀分布，试问X与Y：1）是否独立？2）是否相关？作业讲评：解：EX,xfxydxdy,~DXYU22,4Dxyxy2214,40xyfxy其他又22242414xxdxxdy22244214xxxydx222142xxdx0EYEXY,xyfxydxdy,yfxydxdy22242414xxdxydy22224421142xxydx022242414xxdxxydy022224421142xxxydx,CovXYEXYEXEY0则xy,()()CovXYDXDY0所以X，Y不相关。又,Xfxfxydy224414xxdy2142x2x24220Xxxfx其它同理2Y4220yyfy其它而XYfxfy22222(4)(4)440xyxy其它所以，X与Y不独立；221440xy其他,fxy第五章大数定律与中心极限定理第一节契比雪夫不等式1.契比雪夫不等式：这就是著名的契比雪夫(Chebyshev)不等式..}|{|22XP.1}|{|22XP它有以下等价的形式：:证明xdxxfXP)(}|{|xdxxfx)()(22则有，的概率密度为设)(xfX设随机变量X的期望EX及方差2DX存在，则对任意的，有0dxxfx)()(22dxxfx)()(122.22{||}PX{||}PX211{||}PX1{||}PX:解2212502251}500400{XP}50450{XP例1、抛一枚硬币，试问抛900次后，出现正面的次数介于400至500之间的概率至少为多少？设X表示出现正面的次数，故有EX9000.5450DX9000.50.5225则所求得概率为：09.01.91.0则~900,0.5XB例2、已知某种股票每股价格X的平均值为1元，:解22(0.3)0.1a，20.9a0.95a:依题意有{(1)(1)}PXaXa22(0.3)a标准差为0.3元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%.0.1，{(1)(1)}PXaXa{1}PXa1EX20.3DX第五章大数定律与中心极限定理第二节大数定律概率论与数理统计是研究随机现象统计规律研究大量的随机现象，常常采用极限形式，与大数定律中心极限定理性的学科,随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.很广泛，其中最重要的有两种:由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容定理1(契比雪夫大数定律):设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量1111lim{|()|}1.nniiniiPXEXnn则对任意的ε0，恒有且分别有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),(k=1,2,·‥n)若方差有界，即存在常数C，使得:kDXC:证明相互独立，,,,,21nXXX11()niiEXn11(),niiEXn11()niiDXn211()niiDXn2nnC.nC1111{()}nniiiiPXEXnn21nC,12nC契比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述.11111lim{|()|}nniiniiPXEXnn2lim(1)nCn作为契比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理..1}|1{|lim1niinXnP定理2(独立同分布下的大数定律):设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量D(Xi)=，i=1,2,…,2序列，且E(Xi)=，则对任给0,定理3(贝努里大数定律):，1}|{|limpnnPAn或.0}|{|limpnnPAn设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是A发生的概率，则对任给的ε0，证明：设10kkAX，第次试验发生，，否则12kn，，，，则()kEXp()kDX(1)pppqAnpnAnnpn11nnkkkkXEXn1nAkknX而1()nkkEXnp1()nkkDXnpq则()AnPpn11()nnkkkkPXEXn2211()nkkDXn221npqn21pqn0n.0}|{|limpnnPAn则第五章大数定律与中心极限定理第三节中心极限定理在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人产生总影响.随机因素的影响.们发现，正态分布在自然界中极为常见.观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随现在我们就来研究独立随机变量之和所特有当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？机因素的影响所造成，而每一个因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.的规律性问题.}{lim1xnnXPniin定理1(独立同分布下的中心极限定理)：.22xtdte-21设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独21().niiXNnn～，2D(Xi)=，i=1,2,…，则即立同分布的变量之和近似服从正态分布).(2nnN，由题给条件知X1,X2,…,X16独立,16只元件的寿命的总和为.161kkXY解:且E(Xi)=100,所求概率为P(Y1920)由中心极限定理,近似N(0,1).4001600Y),01.0(设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16例1.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.D(Xi)=10000,P(Y1920)=1－(0.8)=1－0.7881192016001()400=1－P(Y1920)=0.2119.定理2(德莫佛－拉普拉斯定理)：})1({limxpnpnpPnn.2122dtext设随机变量服从参数n,p(0p1)的二项分n定理表明，，np(1－p)也不太小时），二项变量的分布近似n布，则对任意x，有正态分布N(np,np(1－p)).当n很大，0p1是一个定值时（或者说:2可得由定理(2){}nPpn(1){}nP()()npnpnpqnpq；2()1.npq例2、假设生产线上组装每件成品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线每件成品的组装时间为10分钟，各件产品的组装时间相互独立，试求组装100件成品需要15个小时到20个小时的概率。解：设表示第件成品的组装时间，iXi1,2,100,i则相互独立，iX且服从的指数分布1101iDX因为n=100较大，故有iEX21则所求的概率为：101001(15602060)niiPX110010156010010206010010()100100100100100100niiXP(2)(1)0.9772(10.8413)0.8185答：组装100件成品，需要15个小时至20个小时的概率是0.8185。例3、某单位内部有260架电话分机，每个分机有4％的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要多少条外线才能以95％的把握保证各个分机再用外线时不必等候解：独立的试验，用表示第k部电话分机使用外线1kX用表示第k部电话分机不使用外线0kX则1k0kkX第部分机要用外线第部分机不用外线1,2,260,i把考察每部电话分机是否使用外线作为一次由题意知：P10.04kXP00.96kX设X={260部分机中同时要使用外线数}则2601kkXXP00.95Xx由题意知：0260260260=P260260260pXpxppqpqpq要使P0Xx10.43.16x10.43.1610.4=(13.29)3.16x10.4(10.995)3.16x10.40.0053.16x10.40.0050.953.16x10.40.95053.16x则10.41.653.16x15.61x答：总机至少应备有16条外线，才能有95％以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候。作业：P158～159136