第15讲 平面向量的基本性质与运算

第15讲平面向量的基本性质与运算邗江区红桥高级中学魏跃军课前诊断题1：已知平面向量a=(1,2)，b=(-2,m)，且a//b，则 2a+3b=____点评：向量共线的充要条件是什么？（-4，-8）变式：已知平面向量a=(1,2)，b=(-2,m)，且a⊥b，则 2a+3b=_____（-4，7）向量坐标运算公式？题2、已知平面上三点A、B、C满足AB=3,BC=4,CA=5，则ABBC+BCCA+CAAB的值等于______1、凭借你的数感，△ABC的形状如何？点评：0ABBCAB⊥BC2、向量的数量积的运算公式？(0,3)(4,0)CBA坐标法-25点评：3、有下列四个命题：①若a=b，则a=b或a=-b；②若AB=DC，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a=b,b=c，则a=c；④若a//b,b//c，则a//c；其中真命题的序号为 ________①a与a有区别吗？结果如何？③②AB=DC是A，B，C，D是一个平行四边形四个顶点成立的什么条件？该问题中平行关系不能传递的矛盾焦点是哪个向量？③点评：4、如图，在△OAC中，B为AC的中点，若(,)OCxOAyOBxyR则_______.xy由于A,B,C三点共线，容易联想到??OBuOAOC能具体求出x,y的值吗？-3点评：5、OA=1，-2，OB=a,-1,OC=-b,0,a0,b0,O坐原若A、B、C三共，ab的最大值是_________.设为标点点线则问：处条点线2在向量件下的A、B、C三共你如何理？问：关键1要求ab的最大值，是？问3：已知坐标的两向量共线如何处理？例1：问题2：遇模平方是常用方法！问题1：是先算吗？有无更好的运算方法？2bc(sincos,4cos4sin)bc问题3：向量对应的点的轨迹是什么？从几何角度考虑，会怎样？bc例2：第(1)问:对照图形认真读题如何求向量的模？思路1：平方思路2：坐标法例2：第(2)问对照图形认真读题1）对于以O为圆心的圆弧AB上的动点C怎么处理？2∠AOC=αα∈0,π32）欲求含双元变量x+y的最大值，需要寻求？例2：第(2)问对照图形认真读题3)如何将向量OA、OB、OC之间的关系OC=xOA+yOB转化成变量x和y之间的关系？思路一：利用平面向量的数量积思路二：通过坐标运算。例2：第(2)问对照图形认真读题思路一：利用数量积2201cos21+yOBcos1202xyOCOAxOAyOBOAOCOBxOAOBxy02coscos120xy2cos3sin2sin(0,.....63例2：第(2)问对照图形认真读题思路二：通过坐标运算。CAxyBO如图，建立直角坐标系，则131,0,,22ABAOC设点Ccos,sinOCxOAyOB1cos23sin2xyy13322xyxyyAABAC=DE+AP+_____.【变式】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为【点评】①向量具有代数和几何形式的双重身份，解题中通常利用坐标或平面向量的数量积将问题代数化是我们常用的一种处理手段。②通过把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题是高考中的常见题型。例3：第(1)问对照图形认真读题问题1：如何证明一个四边形为梯形？问题2：用向量的方法证明线线平行的途径？问题3：根据已知条件如何证明?ABPQ？例3：第(1)问对照图形认真读题问题3：根据已知条件如何证明?ABPQ思路1、基底法：1）你选择哪两个向量为基地？为什么？2）你能用选择的基地线性表示 AB、PQ吗？3）如何说明 AB∥PQ，并进而证明四边形ABCD为梯形？例3：第(1)问对照图形认真读题问题3：根据已知条件如何证明?ABPQ思路2、坐标法：当标标线条证证建立适的坐系，利用坐下向量共的件明AB∥PQ，利用向量的模明AB≠PQ。例3：第(2)问对照图形认真读题1）梯形的面积公式？本题已知哪些基本量，还需要求哪个量？2）你能挖掘已知条件求得该梯形的高吗？MQPCAM22AM=AC55ABCAB延长交于点，由平行四边形法则（或三角形法则）得，故梯形的高为正的边上高的。1、由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如长度、夹角（垂直）、平行等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。2、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；3）把运算结果“翻译”成几何元素。【点评】解题反思向量具有代数和几何形式的双重身份，要注意树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。谢谢！！