数字信号处理FT与DFT的对比

燕山大学课程设计报告1摘要随着科技的发展，当今社会已经进入信息时代，人们每天都要接触各种各样载有信息的信号形式，如接受广播、电视信号、使用电话传送声音信号等，其目的是为了把不同形式的消息借助一定形式的信号进行表达或传递。随着科技的发展，数字信号处理理论及其分析方法已应用于许多领域和学科中，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，使我们对数字信号处理理论知识能够有更深厚理解，也提高了动手能力，时间并初步掌握了MATLAB的使用。根据本次课题要求，通过使用MATLAB，直观形象的表达出FT于DFT的区别联系，使学习更加深刻。燕山大学课程设计报告2二、FT与DFT1、FT的定义连续时间信号与系统的频域分析方法，其基本思想是正弦函数或复指数函数作为基本信号单元，将任意信号表示成不同频率的正弦信号或复指数信号之和，因此将时间变量变化为频率变量，称为信号的频谱分析。由于傅里叶变换是实现信号频谱分析的基本手段，故频域分析方法以傅里叶变换作为基础。傅里叶变换有两种形式，一种是三角函数形式的傅里叶级数；另一种是指数形式的傅里叶级数。（1）当F（t）满足狄赫利条件时，周期信号F（t）才能展开成傅里叶级数周期信号f(t)；周期为T1，基波角频率为tnbtnatbtatbtaatfnn11121211110sincos2sin2cossincos)(1110)sincos(nnntnbtnaa112Tsincos)(1110nnntnbtnaatf燕山大学课程设计报告3称为三角形式的傅里叶级数，其系数直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度（2）指数形式的傅里叶级数复指数正交函数集级数形式利用复变函数的正交特性是复数幅频特性TttttfTa00d)(10TttnttntfTa00dcos)(21TttnttntfTb00dsin)(212,1,0e1jntne)()(1j1tnnnFtf111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnFde)(1110jTtnttfTTTttntfTttntfT0101dsin)(1jdcos)(1TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)(nnbaj21)(),(11nFnFnnFnFj11e)(nnncbanF2121)(221燕山大学课程设计报告4相频特性幅度频谱相位频谱2、FT的性质（1）线性性质若（2）对称性若（3）尺度变换nnnabarctan~~nnFc113nc0c1c3cO113nO~n)()(,)()(2211FtfFtf1122112212()()()(),cftcftcFcFcc则为常数)()(Ftf2Ftf则ft若为偶函数ftF2则燕山大学课程设计报告5（1）时移特性（2）频移特性离散时间信号与系统的频域分析方法，其基本思想与连续信号和系统的分析方法类似，只不过其傅里叶变换指的是序列的傅氏变换，即将任意信号序列表示成不同频率的正弦序列或复指数序列之和，从而实现信号的频谱分析，因此与连续信号的傅里叶变换有所不同，但都是线性变换，很多性质相似。3、DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为正变换0≤k≤N-1反变换0≤n≤N-11()(),,aaftFftaFa若则为非零函数0j0()();tfttFe0j()0()()tfttFe即：00j00j0()()ttfteFfteF为常数注意，号10()DFT[()]()NnkNnXkxnxnW101()IDFT[()]()NnkNkxnXkXkWN燕山大学课程设计报告6在x(n)与X(k)中，已知其中的一个序列，就能惟一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息等量。在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，即离散傅里叶变换隐含着周期性。有限长序列x(n)的N点DFT正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数X((k))N的主值序列4、DFT的性质（1）线性两序列都是N点时，如果则有长度N不等时选择21,maxNNN为变换长度，短者进行补零达到N点。（2）循环移位性质一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为这里包括三层意思)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFTnRmnxnxNNm)(Nmnxmnx)(~燕山大学课程设计报告7(1)先将x(n)进行周期延拓（2）再进行移位(3)最后取主值序列（3）共轭对称性1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为:同样有2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为:由于)(]))(())(([21)()(~)()(]))(())(([21)()(~)(**nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep]))(())(([21)](~)(~[21)(~]))(())(([21)](~)(~[21)(~****NNoNNenNxnxnxnxnxnNxnxnxnxnxNnxnx)(~Nmnxmnx)(~nRmnxnxNNm)()(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~**nxnxnxnxnxnxnxooeeoe燕山大学课程设计报告8所以这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量（4）循环卷积有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=max［N1,N2］。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(b)］如果X(k)=X1(k)·X2(k)则三、仿真程序及仿真图1、序列波形图)()()(nxnxnxopep)()(~)()(~)()](~)(~[)()(~)(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN燕山大学课程设计报告92、序列的FT变换（1）序列FT变换的程序n=0:7;x=ones(1,8);k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);magX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid;title('幅度');subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid;title('相位');（3）序列FT的幅度谱为燕山大学课程设计报告10序列的相位谱为3、序列的DFT变换（1）序列的8点和64点DFT变换的程序xn=[11111111];%输入时域序列向量xn=R8(n)Xk8=fft(xn,8);%计算xn的8点DFTXk64=fft(xn,64);%计算xn的64点DFT%以下为绘图部分k=0:7;wk=2*k/8;%产生8点DFT对应的采样点频率(关于π归一化值)subplot(3,2,1);stem(wk,abs(Xk8),'.');%绘制8点DFT的幅频特性图title('(a)8点DFT的幅频特性图');xlabel('ω/π');ylabel('幅度')subplot(3,2,5);stem(wk,angle(Xk8),'.');燕山大学课程设计报告11%绘制8点DFT的相频特性图title('(b)8点DFT的相频特性图');xlabel('ω/π');ylabel('相位');axis([0,2,-3.5,3.5])k=0:63;wk=2*k/64;%产生64点DFT对应的采样点频率(关于π归一化值)subplot(3,2,2);stem(wk,abs(Xk64),'.');%绘制64点DFT的幅频特性图title('(c)64点DFT的幅频特性图');xlabel('ω/π');ylabel('幅度')subplot(3,2,6);stem(wk,angle(Xk64),'.');%绘制64点DFT的相频特性图title('(d)64点DFT的相频特性图')xlabel('ω/π');ylabel('相位');axis([0,2,-3.5,3.5])（2）序列的相位幅度谱为燕山大学课程设计报告12四、仿真分析总结DTFT是离散时间傅立叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅立叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时又对区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带有了周期性。另外，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。验证DFT与FT之间的关系：clear;closeallN1=8;N2=16;%两种FFT变换长度n=0:N1-1;w=2*pi*(0:2047)/2048;Xw=(1-exp(-j*4*w))./(1-exp(-j*w));%对x(n)的频谱函数采样2048点subplot(3,2,1);plot(w/pi,abs(Xw))title('x(n)的幅频曲线');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');subplot(3,2,2);plot(w/pi,angle(Xw))title('x(n)的相频曲线');axis([0,2,-pi,pi]);line([0,2],[0,0])xlabel('ω/π');ylabel('相位');xn=[(n=0)&(n4)];X1k=fft(xn,N1);X2k=fft(xn,N2);figure(2)k1=0:N1-1;subplot(3,2,1);stem(k1,abs(X1k),'.')title('N1点DFT[x(n)]=X1(k)')xlabel('k');ylabel('X1(k)');holdonplot(N1/2*w/pi,abs(Xw))subplot(3,2,2);stem(k1,angle(X1k),'.')title('X1(k)的相位');axis([0,N1,-pi,pi]);line([0,N1],[0,0])xlabel('k');ylabel('相位');holdonplot(N1/2*w/pi,angle(Xw))燕山大学课程设计报告13figure(3)k2=0:N2-1;subplot(3,2,1);stem(k2,abs(X2k),'.')title('N2点DFT[x(n)]=X2(k)')xlabel('k');ylabel('X2(k)');holdonplot(N2/2*w/pi,abs(Xw))subplot(3,2,2);stem(k2,angle(X2k),'.')title('X2(k