第5章 连续系统的复频域分析gai

1第五章连续系统的复频域分析拉普拉斯变换拉普拉斯反变换微分方程的变换解网络的S域模型及分析任意信号输入的响应2傅里叶变换的问题傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但在系统分析方面有不足之处：对时间函数限制严，是充分条件。不少函数不能直接按定义求，如增长的指数函数eata0，傅里叶变换就不存在。dttf|)(|dtetfjFtj)()(不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。求傅里叶反变换也比较麻烦。3§1拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换用e-tf(t)来保证傅里叶积分收敛dtetfdteetftfetjtjtt)()()()]([F令s=+j称为复频率dtetfsFts)()(称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。jjtsdsesFjtf)(21)(称为拉普拉斯反变换，也称原函数。对于有始信号，0)()(dtetfsFts称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。0)(21)(tdsesFjtfjjts称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f(t)F(s)记F(s)=[f(t)]记f(t)=-1[F(s)]4拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系ttfjs存在于整个区间双边拉普拉斯变换)(ttfjs存在于整个区间傅里叶变换)(0,0)()(ttftfjs为因果信号拉普拉斯变换傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。5拉氏变换与傅氏变换表示信号的差别傅里叶变换拉普拉斯变换信号表示成指数ejt分量的连续和信号表示成指数est分量的连续和基本信号为：等幅的正弦信号基本信号为：指数增长的正弦信号振幅为无穷小振幅为无穷小频率分布于整个区间频率分布于整个区间2|)(|djFtedssF2|)(|6几个基本函数的拉普拉斯变换指数函数f(t)=es0t(t)s0为复常数。00)(01)(00ssdtedteesFtsststs即Re[s]＞Re[s0]01)(0sstets令s0=实数，则，Re[s]＞stet1)(令s0=j虚数，则，Re[s]＞0jstetj1)(单位阶跃函数(t)令上例中s0=0。则Re[s]＞0st1)(单位冲激函数(t)1)()(0dtetsFts1)(tRe[s]＞-∞7§2拉普拉斯变换的收敛域单边拉普拉斯变换的收敛域dtetfsFts)()(若存在常数1，使Re[s]=＞1则t时，f(t)e-t0故，收敛域为Re[s]=＞1，0)()(dtetfsFts若存在两个常数1和2，使得j10双边拉普拉斯变换的收敛域0)(limttetfRe[s]＞10)(limttetfRe[s]＜2故，收敛域为1＜Re[s]＜2j102收敛域收敛域8例1求f(t)=e-at(t)的拉普拉斯变换，其中：a0解：为保证收敛，有a+＞0，故收敛域为＞－aja0收敛域9例2求f(t)=-e-at(-t)的拉普拉斯变换，其中：a0解：0)(0)(1)(asdteedtesFtjtatas为保证收敛，有a+0，故收敛域为-aja0收敛域10例3求f(t)=e-t(t)+e-2t(t)的拉普拉斯变换。解：第一项的收敛域Re[s]＞－1，0202111)(ssdteedteesFtsttst第二项的收敛域Re[s]＞－2，为保证收敛，取公共收敛域，其收敛域为Re[s]＞－1。j102收敛域11说明几点f(t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指明其收敛域。在实际存在的有始信号，只要取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。所以，单边拉普拉斯变换一般不说明收敛域。两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数(原函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。见例１和例２。如果拉普拉斯变换的收敛域不包括j轴，那么傅里叶变换也不收敛。f(t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。12收敛域的若干特性f(t)是有限长的，则收敛域是整个S平面，Re[s]＞－∞。1T2Tt)(tff(t)乘指数增长或指数衰减信号，因为时间有限，总是绝对可积的。故在整个Ｓ平面内，f(t)e-t绝对可积。f(t)为右边信号，则收敛域是Re[s]＞0，0＞01Tt)(tfte1te0若f(t)e-0t绝对可积，则1＞0；f(t)e-1t也绝对可积。因为当t-时，e-t增长。但当tT1时，f(t)=0。故在Re[s]＞0的区域内，f(t)e-t绝对可积。j00收敛域13收敛域的若干特性f(t)为左边信号，则收敛域是Re[s]＜0，0＜0。f(t)为双边信号，则收敛域是S平面的一条带状区域。证明同上。若f(t)e-0t绝对可积，则10；f(t)e-1t也绝对可积。因为当t时，e-t增长。但当tT2时，f(t)=0。故在Re[s]0的区域内，f(t)e-t绝对可积。2Tt)(tfte1te0j00收敛域14§3拉普拉斯变换的性质序号时域f(t)复频域F(s)1线性性af1(t)+bf2(t)aF1(s)+bF2(s)2尺度性f(at)a03时移性f(t-t0)(t-t0)t004频移性f(t)e-atF(s+a)5时域微分sF(s)－f(0-)6时域积分7复频域微分(-1)ntnf(t)8复频域积分9时域卷积f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)10复频域卷积f1(t)f2(t)11初值定理12终值定理asFa1)(0sFetstdtfd)(ssF)(tdf0)(nndssFd)(ttf)(sdssF)()()(2121sFsFj)(lim)(lim)0(0ssFtffst)(lim)(lim)(0ssFtffst返回15举例例1余弦函数f(t)=cost·(t))(21costjtjeet应用线性性质:221121)(cosssjsjstt例2正弦函数f(t)=sint·(t))(21sintjtjeejt221121)(sinsjsjsjtt应用线性性质:例3单位斜坡函数f(t)=t(t)，因为：st1)(应用频域微分性质21)1()(sstt322)(stt查看性质16举例例4指数余弦函数f(t)=etcost·(t)应用频移性质:例5门函数（矩形波）f(t)=A[(t)-(t-T)]查看性质22)(cossstt22)()(cosssttet)(tftT0A)1()(sTsTesAesAsAsF17举例例6任意周期函数若f1(t)F1(s),应用时移性质:)(tftTT20)(1tftT0设f1(t)为周期函数的第一周期，则周期函数可表示为：)2()()()(111TtfTtftftfsTsTsTsTsTesFeesFesFesFsFsF1)(]1[)()()()()(1212111返回18举例例7周期矩形波f1(t)=(t)-(t-1)，T=3例8冲激串f1(t)=(t)查看性质)(tft101234,1)(1sesFs)1(1111)(33sssseseesesF)(tftTT20)1(sTesFsF11)(,1)(119举例例9锯齿波查看性质)(tftT0A)]()([)(TtttTAtf方法一：用频域微分性质：)1(1)()(sTesTttsTsTsTeTsesesdsd1)1(1)1(12sTsTesAesTAsF)1(/)(2)(tftT0TA)(TtA方法二：用时域微分性质：0)0(fsTsTAeeTsAssF)1()(sTsTesAesTAsF)1(/)(220举例例10查看性质方法二：)1()()2(tettft方法一：因为用频域微分性质：Sest1)1(Sesstt21)1(122)1(2)1(Stessttee应用频移性质：)1()()1(tetetft11)(stetSteste11)1()1(应用时移性质：应用频域微分性质：ssStesesesdsdtet11)1(1)11()1(2)1(12)1(2)(SesssF21举例例10查看性质)1()()2(tettft方法三：应用频移性质：应用时移性质：12)1(2)(SesssF)]1()1()1[()(2ttteetft21)(1)(sttstssesttest21)1()1(1)1(sssessesesttt22111)1()1()1(22举例例11f(t)如图所示，求拉普拉斯变换。查看性质)(tft11023解：设信号在第一个周期内为f0(t)，则)1()]1(sin[)()sin()(0tttttf)1()(2222220ssesesssFsssseseesesFsF11111)()(222222023课堂练习题求下列函数的拉普拉斯变换。查看性质)()(3tettft(1))1()(2tttf(2)21)(stt2)3(13)(sttte方法一：313)(stte2)3(1313][)(ssdtdttetst1)(sset1)1(方法二：方法一：)(][)1(122122322ssssssdtdeett方法二：)1()1()1(2)1()1()1()11()(22ttttttttf)()(12223ssssesF24课堂练习题求下列函数的拉普拉斯变换。查看性质)()2cos()(3ttetft(3))()3cos()(4tttf(4)42)()2cos(sstt4)3(332)()2cos(ssttte)(3sin)(3cos)()3cos()(21214tttttttf9)3(2192/392/)(222ssssssF25§4拉普拉斯反变换查表法部分分式展开法留数法应用拉氏变换的性质26返回部分分式展开法用部分分式展开法求拉普拉斯反变换，一般为有理函数。单极点：D(s)=0的根也称为极点。)()()(sDsNsFniiipsKsF1)(F(s)可展开成)2,1(nipi为n个不相等的单根。ipsiisFpsK)()(nitpiteKtfi1)()(27例1反变换公式已知，求f(t)。)12)(65(162)(22sssssF解：1232)12)(3)(2(162)(3212sKsKsKsssssF4.21024)12)(3(162221