第12章 随机过程及其统计描述12.2 随机过程的统计描述

一、随机过程的分布函数族二、随机过程的数字特征三、二维随机过程的分布函数和数字特征四、小结第二节随机过程的统计描述}.),({TttX给定随机过程,Tt　　对于每一个固定的一、随机过程的分布函数族,有关布函数一般与t.}),({的一维分布函数称它为随机过程TttX的分随机变量)(tX记为,,,),3,2(1Tttnnn个不同的时刻对任意.))(,),(),((21ntXtXtXn维随机变量引入分布函数),,,;,,,(2121nnXtttxxxF},)(,,)(,)({222211xtXxtXxtXP.,,2,1,Rnixi称对固定的,n}),,,,;,,,({2121TttttxxxFinnX科尔莫戈罗夫定理有限维分布函数族完全确定了随机过程的统计特性.}.),({TttX给定随机过程ttXTt的均值一般与随机变量　　对固定的)(,)],([)(tXEtX.}),({的均值函数称为随机过程TttX的函数在时刻是随机过程的所有样本　　)(ttX在各个时表示了随机过程　　均值函数)()(tXtX二、随机过程的数字特征,有关,函数值的平均值.刻的摆动中心.称为集平均或统计平均记作)],([)(22tXEtX},)]()({[)]([Var)()(22ttXEtXtDtXXX并分别称为随机过程的均方值函数和方差函数.方差函数的算术平方根称为随机过程的标准差函数,)],()([),(2121tXtXEttRXX称为随机过程的自相关函数,简称相关函数.表示随机过程在某时刻对于均值的平均偏离程度.的二阶原点混合矩记为随机变量)(,)(21tXtX的二阶混合中心矩记为随机变量)(),(21tXtX)](),([Cov),(2121tXtXttCXX将它称为随机过程的自协方差函数,自相关函数和自协方差函数是刻画随机过程差函数.自身在两个不同时刻的状态之间统计依赖关系的数字特征.)]},()()][()({[2211ttXttXEXX简称协方)]([)(tXEtX均值函数)]([)(22tXEtX均方值函数})]()({[)(22ttXEtXX方差函数})]()({[)(2ttXEtXX标准差函数)]()([),(2121tXtXEttRXX相关函数)]}()()][()({[),(221121ttXttXEttCXXXX协方差函数随机过程的数字特征随机过程数字特征之间的关系],[)(2ttRtXX)()(),(),(212121ttttRttCXXXX,21时当ttt),()(2ttCtXX)]([)(tXEtX均值函数)]()([),(2121tXtXEttRXX自相关函数最主要的数字特征)(),(2tttRXX研究随机过程,主要研究所谓的二阶矩过程.二阶矩过程的相关函数一定存在.,)]([)],([2212存在因为tXEtXE,,)],([)]([)]}()([{212212221TtttXEtXEtXtXE.)]()([),(2121存在因此tXtXEttRX},),({TttX　　随机过程,)]([2都存在二阶矩tXE,Tt如果对每一个那么称它为二阶矩过程.施瓦茨不等式由柯西的每一个有限维分　　如果随机过程}),({TttX,,,,121Ttttnn和任意即对任意整数.))(,,)(,)((21维正态分布服从ntXtXtXn正态过程的全部统计特性完全由它的均值函,布都是正态分布数和自协方差函数(或自相关函数)确定..就叫做正态过程例1),(,)(TtBAttX　　试求随机过程解)]([)(tXEtX)]()([),(2121tXtXEttRX)])([(21BAtBAtE数分别为的均值函数和自相关函)(tX设A,B是两个随机变量..数的均值函数和自相关函,,相互独立　　如果BA？数又是什么的均值函数和自相关函问)(tX).()(BEAtE,)2,0(,)1,0(UBNA～～且)(BAtE.,),()()()(21221221TttBEABEttAEtt,,)2,0(),1,0(相互独立时且～～当BAUBNA,0)(AE)()()(BEAEABE所以可得,1)(tX.,,34),(212121TttttttRX,1)(2AE)(BE,1)(2BE,34,0例2求随机相位正弦波),,(),cos()(ttatX,和自相关函数的均值函数、方差函数解的概率密度为.,0,π20,π21)(其他f)]([)(tXEtX,是正常数)]cos([taE.量和其中a变上服从均匀分布的随机是在)π2,0(π20dπ21)cos(ta.0)]()([),(2121tEtXEttRX)]cos()cos([212ttaEπ20212dπ21)cos()cos(tta).(cos2122tta即得方差函数为令,21ttt)(),()(22tttRtXXX),(ttRX.22a例3,),(,sincos)(TttBtAtX　　设解,,,,21Ttttn对任意一组实数nitBtAtXiii,,2,1,sincos)(的态分布是相互独立且都服从正其中),0(,2NBA,随机变量.数的均值函数和自相关函,,变量是相互独立的正态分布因为BA.,的线性组合都是BA,)(是正态过程证明tX.是实常数并求它.),(是二维正态变量所以BA,维正态变量的性质根据n,,是任意的因为itn,由题意)()(22BEAE)sincos()(tBtAEtX所以),(),(2121ttRttCXX)]sincos)(sincos[(2211tBtAtBtAE)sinsincos(cos21212tttt.))(,),(),((21维正态变量是ntXtXtXn.)(是正态过程所以由定义可知tX)()()(ABEBEAE,0.2,0).(cos122tt的随机过是依赖于同一参数　　设TttYtX)(),(.})),(),(({TttYtX给定二维随机过程.,,,;,,,2121中任意两组实数是Tttttttmn))(,),(),();(,),(),((2121mntYtYtYtXtXtX三、二维随机过程的分布函数和数字特征,程,程变量的分布函数,),,;,,;,,;,,(1111mmnnttyyttxxFmjniRyxji,,2,1,,,2,1,,是不同的二维随对于不同的))(),((,tYtXTt.})),(),(({为二维随机过程称TttYtX维分布函数或随机过程叫做二维随即过程的mn.)()(维联合分布函数的与mntYtX,,,,1tmn任意的数组数　　如果对任意的正整,,,,1TttTtmn,))(,),((1相互独立维随机变量与mtYtYm.)()(是相互独立的与随机过程tYtX))(,),((1ntXtXn维随机变量则称的互相关函数：和随机过程)()(tYtX的互协方差函数：和随机过程)()(tYtX对任意的　　如果二维随机过程))(,)((tYtX.)()(是不相关的　和则称随机过程tYtX,,21Ttt恒有之和的情形三个随机过程)(),(),(tZtYtX),()()()(tZtYtXtW令　那么均值函数)]()([),(2121tWtWEttRWW自相关函数　),(),(),(212121ttRttRttRXZXYXX),(),(),(212121ttRttRttRYZYYYX).,(),(),(212121ttRttRttRZZZYZX),()()()(ttttZYXW　　若三个随机过程两两不相关,),,(),(),(),(21212121ttRttRttRttRZZYYXXWW,21ttt令)()(22ttWW数均为零,且各自的均值函则诸互相关函数均等于零,那么的方差函数可得)(tW).()()(222tttZYX四、小结1.随机过程的分布函数族2.随机过程的数字特征}),,({TttxFX一维分布函数族},),,,;,,,({2121TttttxxxFinnX维分布函数族n)]([)(22tXEtX均方值函数})]()({[)(22ttXEtXX方差函数})]()({[)(2ttXEtXX标准差函数均值函数)]([)(tXEtX3.二维随机过程的分布函数和数字特征)]}()()][()({[),(221121ttXttXEttCXXXX协方差函数相关函数)]()([),(2121tXtXEttRXX互相关函数.,)],()([),(212121TtttYtXEttRXY互协方差函数.,),()(),(),(21212121TttttttRttCYXXYXY.,,2,1,,,2,1,,),,;,,;,,;,,(1111mjniRyxttyyttxxFjimmnnX(t)与Y(t)的n+m维联合分布函数