重庆大学研究生数理统计总复习

概率论基本知识点重庆大学数统学院李寒宇[e-mail]240783951135942309695、概率的运算性质：1）不可能事件概率为零，即：；0)(P2）有限可加性：互斥,niiniiAPAP11)(nAAA,...,,213）设A为任一随机事件，则：；)(1)(APAP4）设A，B为任意两个随机事件，则：当时，；)()()(ABPAPBAPAB)()()(BPAPBAP5）单调性：若，则；BA)()(BPAP6）；);()()()()(ABPBPAPBAP加法公式7)(),()1APA有界性有0.()减法公式.1、分布函数：定义：设X为随机变量，为任意实数，称函数∈R为随机变量X的分布函数。)(xXPxFxx性质：1）单调不减性：即当时，有；2）；3）是右连续函数，即对于任意的x，有；21xx)()(21xFxF0lim)(xFFx1lim)(xFFxxFxFxF02、分布列：定义：设随机变量X的所有可能取值为且则称此数列为离散型随机变量的分布列。,,21xx),,,2,1(,)(nkpxXPkk性质1：,...3,2,1k,0pk1p1kkxxkkxXPxXPxF)()(性质2：性质3：分布列与分布函数之间的关系3、密度函数：定义：如果存在一个非负可积函数，对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，称为X的分布密度或密度函数。)(xfxduufxXPxF)()()()(xf性质1：性质2：性质3：),(,0)(xxf1)(dxxfxdttfxXPxF)()(.0}{.)(}{);()(',)(;aXPdxxfbXaPxfxFxxfxFba则处连续在若为连续函数4、常见分布：1)二项分布：X的分布律：1p0;101PknkppCkXPknkkn，，，pnX,B~线性可加性：若，，且相互独立，则：pn,B~X11pn,B~X22pnn,B~XX21212）Poisson分布X~P(λ)：)0(,2,1,0,!kekkXPk4）均匀分布X～U[a,b]：1,(;,)0axbfxabba，其它0()(),1xxaxaFxftdtaxbbabx5）指数分布X～Γ(λ)：,0(;)0,0xexfxx0,0()()001,xxxFxftdte分布函数6）正态分布X～N(μ,σ)：222()2221(;,),xfxex-4-20246800.10.20.30.40.5f(x;2,1)f(x;2,3)x正态分布密度函数曲线6.1）标准正态分布X～N(0,1)：21()x密度：()x分布函数：正态分布的性质(1)(),()fxFx处处为正且存在各阶导数；(2)(,)(),(,)()fxfx内单增内单减，()1/2fxx在处取得最大值，lim()=0xfx，lim()=0xfx；(3)()()()fxxfxfx关于对称，即；(4)()xFx；(5)()1();xx(6)~(0,1),{}2()1.XNPXaa1、二维随机变量及其推广：四、二维随机变量1）二维随机变量的分布函数：yxyYxXPyYxXPyxF,)),()((),(),(2）二维离散型随机变量的联合分布列：;)),(),((ijjipyxYXPijjipyYxXP),(xxyyjixxyyijijijyYxXPpyYxXPyxF),(),(),(显然：称：1),()(jijiiipYxXPxXPp为X的边缘分布列；,2,1i1),()(iijjjjpyYXPyYPp,2,1j为Y的边缘分布列；3）二维连续型随机变量的联合密度函数：xydsdttsfyYxXPyxF),(),(),(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(为X的边缘密度函数；为Y的边缘密度函数；4）二维随机变量的独立性：若对于任意的x,y，满足如下关系：则可称随机变量X与Y相互独立。判断独立性：)()(),(yYPxXPyYxXP)()(),()()(),(..yfxfyxfpppyFxFyxFYXjiijYX五、随机变量的数字特征：1、一维随机变量的数学期望：设离散型随机变量X的分布列为：nkpxXPkk,,2,1,如果级数收敛，则称级数：1kkkpxXEpx1kkk为离散型随机变量X的数学期望。函数变换的数学期望：设连续型随机变量X的密度函数为,)(xf若收敛，则称：dxxfx)()()(XEdxxxf为连续型随机变量X的数学期望。连续离散XdxxfxgXpxgXgEiii,)()(,)())((1X是离散型:X是连续型,其密度函数是:一般用如下公式:12kkkpEXxDXdxxfEXxDX)(2)()()(222XEXEEXXEDX2、方差:2()DXEXEX)(xf3、数学期望和方差的性质：1）c为常数，则，；cEc0Dc2），baEXbaXE)(DXabaXD2)(3），bEYaEXbYaXE)(),cov(2)(22YXabDYbDXabYaXD4）若X与Y独立，则：EXEYXYE)(DYbDXabYaXD22)(常用分布的数字特征)1(),1(~.1pppqDXpEXpBX)1(),(~.2pnpnpqDXnpEXpnBXDXEXPX)(~.3214.~(,)()212abXUabEXDXba2115.~()XEXDX22),(~.6DXaEXaNX4、二维随机变量的数学期望：（EX，EY）连续离散YXdxdyyxfyxgYXpyxgYXgEiijjij,,),(),(,,),()),((11离散型连续型1111,iijjijijijEXxpEYyp(,),(,),EXxfxydxdyEYyfxydxdy一般地协方差、相关系数和矩：（1）X和Y协方差：EYEXXYEYEYXEXEYX)(,cov2Cov(,)().XXEXEXDX协方差和相关系数的性质:).,(Cov),(Cov),(Cov)3);,(Cov),(Cov)2);,(Cov),(Cov)12121YXYXYXXYXacdcYbaXXYYX.0;1)5);,(Cov2)()4不相关与YXrrXYDYDXYXD.,0.))((),(Cov不相关与则称若的相关系数与称为YXrYXDYDXEYYEXXEDYDXYXr（2）X和Y相关系数：（3）矩:)X(Ekk)]X(EE[X称为X的k阶原点矩；称为X的k阶中心矩；)X(EklYklE[XE(X)][YE(Y)]称为X,Y的k+l阶原点矩；称为X,Y的k+l阶中心混合矩；统计概念重庆大学数统学院李寒宇[e-mail]240783951135942309696、样本分布的计算1)、设总体X的分布函数为,X1,…,Xn是来自总体X的样本，则该样本的联合分布函数为：()Fx),,(),,,(221121nnnxXxXxXPxxxFniiniiixFxXP11)()(niRxi,,2,1,2)、若总体X是连续型随机变量，且具有密度函数,则样本（X1,…,Xn）的联合密度函数为，也称为概率分布。)(xfniinxfxxf11)(),,(3)、当总体X是离散型随机变量，且具有分布列时，(),1,2,iPXxi记：其它当，，0)()(,...2,1,iixxixXPxf*故任意样本(X1,…,Xn)的概率分布统一为：niinxfxxxf121)(),,,(则样本（X1,…,Xn）的联合密度函数也为：niinxfxxf11)(),,(11(,,)()nniiPXxXxPXx1）定义：设X1,…,Xn为总体X的一个样本，为关于n维变量的连续函数，且该函数中不含任何未知参数(取定值时)，则称为统计量，很明显，统计量是一个随机变量。7、统计量),,(1nxxfnxx,,1nxx,,1),,(1nXXf2）常用的统计量：样本均值：niiXnX11样本方差：;)(11122niiXXnS样本k阶原点矩：,2,1;11kXnMnikik样本k阶中心矩：,2,1;)(11*kXXnMnikik样本标准差：;)(1112niiXXnS显然：XM12*21SnnM)(111222niiXnXnS3）样本均值有如下性质：X(1):0)(1niiXX(2):若总体的均值、方差存在，且，则2,EXDX2,EXDXn(3):当n→∞时，。pX4）样本方差S2的性质：(1)如果存在，则：)(2XDES)(1*2XDnnEM)(XD(2)对任意实数a，有：2211()()nniiiixxxa三、顺序统计量、经验分布函数和直方图定义：设(X1,…,Xn)为总体X的样本，是样本观测值，将样本值从小到大排列：。定义随机变量的取值为，则称为的顺序统计量，且称为最小统计量，为最大统计量。1、顺序统计量),,(1nxx)()2()1(nxxx)(iXnixi,,2,1,)()()2()1(,,,nXXX12(,,,)nXXX)1(X)(nXnkXXfXnk,,1),,,(1)(第k个顺序统计量设是总体X的分布函数，为总体X的密度函数，则：2、最小最大统计量的分布：)(xf)(xF1)最大统计量的分布为：)(nX)()()()(xXPxFnn)()()(1)(xfxFnxfnn2)最小统计量的分布为：)1(X)()()1()1(xXPxF)()(1)(1)1(xfxFnxfn),,(1xXxXPnnxF)()(1)1(xXPnxF)(11),,(11xXxXPn3、经验分布函数：定义：设为总体X的样本的观测值，将这些值按大小排序为：，并对任意实数x，记nxxx,,,21)()2()1(nxxx(1)()(1)()0,(),;1,2,,11,nkknxxkFxxxxknnxx其中则称为总体X的经验分布函数。)(xFn思想：利用样本中样品的频率估计总体的概率描述连续性随机变量的密度函数曲线，当样本容量较大（n85）时，能够很好的近似总体的密度函数曲线。4、直方图：直方图方法步骤：直方图方法步骤：直方图结果：2、正态总体下一些几个重要的抽样分布1）卡方分布：(1)定义：设为n个独立同分布于的随机变量，记，则称服从参数为n的卡方分布，记为：nXXX,,,21)1,0(NniiX1222)(~22n四、抽样分布(4)性质：①设，则，；22~()n2En22Dn②线性可加性：设，，且随机变量和相互独立