第4章 常用概率分布

卫生统计学流行病与卫生统计学系第一节正态分布一、正态分布第四章常用概率分布正态分布是自然界最常见的一种分布，若指标X的频率分布曲线对应于数学上的正态分布曲线，则称该指标服从正态分布。增大样本量n，同时将组距进一步缩小，直方图顶端近似一条圆滑的曲线。正态分布的特征1.关于对称。即正态分布以均数为中心，左右对称。2.在处取得概率密度函数的最大值，在处有拐点，表现为钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。3.正态分布有两个参数，即均数µ和标准差σ。µ是位置参数，σ是变异度参数(形状参数)。常用N(µ,σ2)表示均数为μ，标准差为σ的正态分布；用N(0,1)表示标准正态分布。4.正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于100%或1。正态分布的密度函数，即正态曲线的方程为-∞＜X＜+∞0f(x)maxµ1µ2σ=0.50f(x)µσ=1σ=2N（μ1，σ2）、N（μ2，σ2）N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）均数为0，标准差为1的正态分布-∞＜Z＜+∞标准正态分布的密度函数：为标准正态分布的密度函数，即纵坐标的高度。对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，可作如下的标准化变换，也称Z变换XZ标准正态分布二、正态曲线下面积的分布规律正态方程的积分式(分布函数)：F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线下，横轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累计面积。标准正态分布方程积分式(分布函数)：Φ(Z)为标准正态变量u的累计分布函数，反映标准正态曲线下，横轴尺度自－∞到Z的面积，即下侧累计面积。Z在实际工作中为了方便用查表代替计算1）表中曲线下面积为－∞到Z的面积。2）当µ,σ和X已知时，先求出Z值，再用Z值查表，得所求区间占总面积的比例。当µ和σ未知时，要用样本均数和样本标准差S来估计Z值。3）曲线下对称于0的区间，面积相等。4）曲线下横轴上的面积为100%或1。XZSXXZ三、标准正态分布表正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，即均数位置，理论上：µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27%µ±1.64σ范围内曲线下的面积占总面积的90%µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95%µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99%实际应用中：±1S范围内曲线下的面积占总面积的68.27%±1.64S范围内曲线下的面积占总面积的90%±1.96S范围内曲线下的面积占总面积的95%±2.58S范围内曲线下的面积占总面积的99%标准正态分布的µ=0，σ=1，则µ±σ相当于区间(-1，1)，µ±1.96σ相当于区间(-1.96，1.96),µ±2.58σ的区间相当于区间(-2.58，2.58)。区间(-1,1)的面积：1-2Φ(-1)=1-2×0.1587=0.6826=68.26%区间(-1.96,1.96)的面积：1-2Φ(-1.96)=1-2×0.0250=0.9500=95%区间(-2.58,2.58)的面积：1-2Φ(-2.58)=1-2×0.0049=0.9902=99.02%正态曲线下面积对称，则区间（1.96，∞）的面积也是0.025。Z取值于（-1.96，1.96）的概率为1-2×0.025=0.95，即X取值在区间上的概率为95%。同理，计算2.58.例1X服从均数为，标准差为的正态分布，试估计（1）X取值在区间上的概率；（2）X取值在区间上的概率；先做标准化变化:例2已知某地1986年120名8岁男童身高均数，S=4.79cm，估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩总数的比例；(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围？理论上该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。（1）先做标准化变换:（2）查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为-1.28，所以80%的8岁男孩身高值集中在区间内，即116.9cm~129.2cm（3）S28.1X四、正态分布的应用（一）制定医学参考值范围参考值范围：指特定的“正常”人群的解剖、生理、生化、免疫等各种数据的波动范围。制定参考值范围的步骤1.选择足够数量的正常人作为调查对象。2.样本含量足够大。3.确定取单侧还是取双侧正常值范围。4.选择适当的百分界限。5.选择适当的方法。估计医学参考值范围的方法：1.正态近似法：适用于正态分布或近似正态分布的资料。2.百分位数法：适用于偏态分布资料。过低异常过低异常过高异常过高异常例3某地调查120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分布近似于正态分布，得均数为117.4g/L，标准差为10.2g/L，试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。分析：正常人的血红蛋白过高过低均为异常，要制定双侧正常值范围。该指标的95%医学参考值范围为例4某地调查110名正常成年男子的第一秒肺通气量，得均数为4.2L，标准差为0.7L，试估计该地正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。该地正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围为：不低于3.052L。分析：正常人的第一秒肺通气量近似正态分布，且只以过低为异常，要制定单侧下限。例5某年某市调查了200例正常成人血铅含量（μg/100g)如下，试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。分析：血铅的分布为偏态分布，且血铅含量只以过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。（二）质量控制为了控制实验中的检测误差，常用±2S作上下警戒线，以±3S作为上下控制线。这里的2S和3S可视为1.96S和2.58S的约数。其依据是正常情况下检测误差是服从正态分布的。但影响某一指标的随机因素很多，如果该指标的随机波动属于随机误差，则往往符合正态分布，如果不服从正态分布，则有可能存在系统误差7条线的意义判断异常的几种情况1.有一个点距中心线的距离超过3个标准差（控制限以外）2.在中心线的一侧连续有9个点3.连续6个点稳定地增加或减少4.连续14个点交替上下5.连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（警戒限以外）6.连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差7.中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标准差以内8.中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差范围。（三）统计处理方法的理论基础统计描述中计算算术平均数、标准差、统计推断中进行总体均数置信区间估计、t检验、F检验、相关与回归等分析（一）成败型实验（Bernoulli实验）在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性等。将我们关心的事件A出现称为成功，不出现称为失败，这类试验就称为成-败型实验。指定性资料中的二项分类实验。第二节二项分布一、二项分布的概念与特征成-败型（Bernoulli）实验序列：满足以下三个条件的n次实验构成的序列称为成-败型实验序列。1）每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一（A或非A）。2)相同的实验条件下，每次实验中事件A的发生具有相同的概率π。（非A的概率为1-π）。实际工作中要求π是从大量观察中获得的较稳定的数值。3)各次实验独立。各次的实验结果互不影响。（二）二项分布的概率函数二项分布是指在只能产生两种可能结果（如“阳性”或“阴性”）之一的n次独立重复实验中，当每次试验的“阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0,1,2,…,n的一种概率分布。若从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本，则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布，记作B(X;n,π)或B(n,π)。例实验白鼠共3只，要求它们同种属、同性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率，即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为，相应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，则死亡鼠数为X的概率分布即表现为二项分布。A互不相容事件的加法定理独立事件的乘法定理构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现的次数X的概率分布为：XnXXnCXP1其中X=0，1，2…，n。n，π是二项分布的两个参数。对于任何二项分布，总有例4-2临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60%，现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？分析：治疗结果为有限和无效两类，每个患者是否有效不受其他病例的影响，有效概率均为0.6，符合二项分布的条件。2例有效的概率是0.432一例以上有效的概率为：或（三）二项分布的特征1.二项分布的图形特征n，π是二项分布的两个参数，所以二项分布的形状取决于n，π。可以看出，当π=0.5时分布对称，近似对称分布。当π≠0.5时，分布呈偏态，特别是n较小时，π偏离0.5越远，分布的对称性越差，但只要不接近1和0时，随着n的增大，分布逐渐逼近正态。因此，π或1-π不太小，而n足够大，我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。2.二项分布的均数和标准差对于任何一个二项分布B(X;n,π)，如果每次试验出现“阳性”结果的概率均为π，则在n次独立重复实验中，出现阳性次数X的总体均数为方差为标准差为n12n1n例实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数=3×0.6=1.8（只）方差为标准差为如果以率表示，将阳性结果的频率记为，则P的总体均数总体方差为总体标准差为式中是频率p的标准误，反映阳性频率的抽样误差的大小。pnp12np1例4-4如果某地钩虫感染率为6.7%,随机观察当地150人,样本钩虫感染率为p,求p的抽样误差。二、二项分布的应用（一）概率估计例4-5如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大?(二)单侧累计概率计算二项分布出现阳性次数至少为K次的概率为阳性次数至多为K次的概率为XnXnkxnkxXnXnXPKXP1!!!XnXkxkxXnXnXPKXP1!!!00例4-6如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中至多有2人感染钩虫的概率有多大?至少有2人感染钩虫的概率有多大?至少有20人感染钩虫的概率有多大?至多有2名感染的概率为:至少有2名感染的概率为:至少有20名感染的概率为:第二节Poisson分布的概念与特征一、Poisson分布Poisson分布也是一种离散型分布，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。Poisson分布也可用于研究单位时间内(或单位空间、容积内)某罕见事件发生次数的分布，如分析在单位面积或容积内细菌数的分布，在单位空间中某种昆虫或野生动物数的分布，粉尘在观察容积内的分布，放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布等。Poisson分布一般记作。Poisson分布可以看作是发生的概率π很小，而观察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三个基本条件外，Poisson分布还要求π或1-π接近于0和1。有些情况π和n都难以确定，只能以观察单位(时间、空间、容积、面积)内某种稀有事件的发生数X等来表示，如每毫升水中大肠杆菌数，每个观察单位中粉尘的记数，单位时间内放射性质点数等，只要细菌、粉尘、放射性脉冲在观察时间内满足以上条件，就可以近似看为Poisson分布。Poisson分布作为二项分布的一种极限情况二、Poisson分布的特征1.Poisson分布的概率函数为:式中为Poisson分布的总体均数，X为观察单位时间内某稀有事件的发生次数；e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828。!)(XeXPX如某地20年间共出生短肢畸形儿10名，平均每年0.5名。就可用代入Poisson分布的概率函数来估计该地每年出生此类