材料力学-扭转

1第七章扭转§7–1引言§7–2外力偶矩、扭矩、扭矩图§7–3圆轴扭转时横截面上的应力分析§7–4圆轴扭转时的强度计算§7–5圆轴扭转时的变形与刚度计算§7–6矩形截面杆扭转的概念2扭转构件受力特点：两个垂直与杆轴线的平面内有力偶作用，两力偶大小相等、转向相反。扭转变形的特点：杆的横截面绕轴线发生相对转动。任意两横截面间的相对角位移称为扭转角。工程实际中，如电动机的主轴、钻机的钻杆、鼓风机的主轴等，它们的主要变形是扭转变形。虽还可能伴随着弯曲、拉压等变形，但这样的变形不大时可以忽略。受扭杆件的截面形状多为圆形或圆管形，因此主要研究圆周扭转的应力和变形分析。第七章扭转§7-1引言3前面提到，扭转时作用在轴上的外力是一对大小相等、转向相反的力偶。但是，在实际工程中常常是并不直接给出外力偶矩的大小，而是知道轴所传递的功率和轴转速。功率、转速和力偶矩之间有一定的关系，由此可换算出作用在轴上的外力偶矩。为外力偶矩为功率为转速输入功率的单位不同，系数也不同。力偶矩与传递的功率成正比，与转速成反比。（低速轴直径大）§7-2外力偶矩、扭矩、扭矩图一、外力偶矩分）转/KWm)KN()(55.9(nNmpx分）转马力/m)KN()(02.7(nNmpxxmpNnsmN/736)(1马力ps4二、扭矩与扭矩图（扭转时的内力）设一轴在一对大小相等、转向相反的外力偶作用下产生扭转变形。为了揭示内力，仍用截面法。以一个假想的截面n-n在轴的任意处垂直地将轴截开，取左段为研究对象。由于A端作用一个力偶，为保持平衡，在截面内必存在内力偶与之平衡。由平衡条件，即可求得这个内力偶的大小由此可知，杆件扭转时，其内力是一个在截面平面内的力偶，称其力偶矩为扭矩，用T来表示。对扭矩的正负号规定：扭矩矢量与截面外法线方向一致为正。(右手螺旋法则）0xMATT5当同时有几个力偶作用时，截面上的扭矩不同，须分段求出。为了确定最大扭矩的所在位置，以便找出危险截面，一般常用扭矩图。扭矩图：取杆轴方向为横坐标x，扭矩T为纵坐标，画扭矩随横截面位置的变化规律。例：AATTTT110BABATTTTTT220作业：P175-7.4例：一皮带传动轴，轮子A用皮带直接与原动机连接，轮子B和C与机床连接。已知轮子A传递60马力，轮子B传递34马力。轴的转速是150转/分。略去轴承的摩擦力，求作轴的扭矩图。解：计算轮子的外力偶矩因为轴以等速转动，系统平衡。由截面法可求得：危险截面在??段。mNmmmmCBCA12180mNmmNmBA159215034702428101506070240mmNmmNmmNmm01592281012181592281012181218043217§7-3圆周扭转时横截面上的应力分析圆轴扭转的外力形式是力偶，内力是扭矩。那么扭矩是如何形成的？从何而来？我们从观察表面变形入手。一、表面变形的特点与平面假设圆轴扭转时观察圆轴的圆周线和母线。圆周线的形状和大小不变；相邻圆周线发生相对转动，它们之间的距离保持不变；各母线仍为直线，且平行，但都倾斜了一相同的角度；母线和圆周线组成的矩形变成菱形。总结以上特点，可作出平面假设：设圆周扭转时各横截面如同刚性平面绕轴线转动，即圆轴各横截面仍保持平面，其形状大小不变，半径也为直线。8二、应变和应力特点---纯剪状态圆轴扭转时观察圆轴的圆周线和母线。圆周线之间的距离不变--无轴向拉压变形---横截面上无正应力；横截面上有扭矩--各横截面上必有相切于圆周线方向的剪应力存在，且垂直于半径；各母线都倾斜了相同的角度--一横截面上的同一圆周上，各点的变形相同，剪应力也相同；则归纳出圆轴扭转时横截面上应力的分布特点：1、无正应力；2、只有相切于圆周、垂直于半径、沿圆周线其大小方向相同的剪应力存在，其分布是流水线分布。9从圆轴中取一微小的正六面体（单元体），其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此另两个对称面上也必存在转向相反的、由剪应力构成的力偶。由此得出，剪应力互等定理：两个相互垂直的截面上，在其相交处的剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反，指向或背离交线。剪应力符号规定：使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负（左上右下为正）10前一章中的剪切变形中，假设剪应力均匀分布的情况下，只讨论了剪应力，没有讨论与之对应的剪应变，这是因为在剪切面上剪应力分布较复杂，而且还存在其他变形引起的数值不大的正应力，即构件还不是纯剪切状态。对于扭转圆轴中取出的单元体来说，只有剪应力，无正应力，是处于纯剪状态，可研究剪应变。由单元体变形中可看出，矩形变形为菱形，直角改变了角。这直角的改变量称为剪应变，用弧度来度量（应变单位）。圆周表面处的剪应变？中心处的剪应变？由实验表明剪应力与剪应变之间有一定的关系：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变有线性关系。即：这一关系称剪切胡克定理，称为剪切弹性模量。三、剪切虎克定律---物理条件pGG11材料的三个物理条件：其中三个弹性常数之间有一定的关系：)1(2EG',G,E四、圆周扭转时的应力计算公式前面已知道横截面上的剪应力分布，但其剪应力值与内力---扭矩之间有何关系？怎样求剪应力大小？下面考虑三个方程：变形几何方程、物理方程、静力平衡方程121、变形几何关系取出两个截面m-m、n-n间一段长为dx的轴线，假设变形后两截面相对旋转了，圆轴表面上的矩形ABCD的直角发生变化，其改变量为，取出锲形体研究，则可得出两个变形之间的关系。ddxdACCC'其中是截面相对扭转角的变化率，是常数，可知，剪应变沿半径成正比关系。dxd2、物理关系有胡克定律：可知剪应力也与半径成正比关系。因此在横截面上剪应力的分布如图。dxdGG3、静力学关系由上式可知，只要确定，就可求出剪应力了。因为剪力Q对圆心的力矩构成扭矩T，所以可写出如下式子。微单位面积上的剪力为，令，是只与横截面大小和形状有关的几何量，称横截面对其中心的极惯性矩，量纲[长度]4dxddAdAdQAAAAdAdXdGdAdXdGdAdQT2ApdAI2pGITdXd则可求出相对扭转角的变化率：由此，圆轴扭转时横截面上半径为处的剪应力为：4、极惯性矩的计算直径为D的实心轴圆截面：空心轴圆环截面：例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw，转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm,d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力pITpIApdAI2324DIp3244dDIp15要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件为：把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令则有：，称为抗扭截面系数实心圆：许用剪应力的确定：一般取量钢：半径-mm，扭矩-KNM，剪应力--Mpa例：P169--7.4§7-4圆轴扭转时的强度计算RITpmaxRIWpppWTpW32.0DWp)0.1~8.0()6.0~5.0(脆性材料：塑性材料：16§7-5圆周扭转时的变形与刚度计算1、圆轴扭转时的变形由前面已知，相距dx的两个横截面的相对扭转角为则，的量纲为弧度（rad）称为圆轴的抗扭刚度2、扭转变形的限制扭转变形时单位长度的扭转角，不能超过某一许用值。即为了统一其量纲，应写成轴上各段的扭矩、截面尺寸、材料不同，其扭转角也不同。因此要做刚度计算时先判断最大扭转角发生的部位。pIGdXTdplplGITldXIGTdpGIpIGTl180pIGT17例：传动轴如图所示，已知轴的直径d=4.5cm，转速n=300r/min。主动轮输入的功率NA=36.7kw；从动轮B、C、D输出的功率分别为NB=14.7kw、NC=ND=11kw。轴的材料为45号钢，G=80*103MPa，=40MPa，=2’/m，试校核轴的强度和刚度。解：（1）计算外力矩mNnNMmNnNMmNnNMCCBBAA3519550468955011709550（2）扭矩图mNTTTTmNTTTmNTTCBABAB35170246832118（3）强度校核MPaMPa408.38045.02.07023maxmaxPWT满足强度条件。（4）刚度校核mm/2/23.114.3180maxmaxPIGT满足刚度条件。§7-6矩形截面杆扭转时的概念前面导出的扭转剪应力公式和扭转变形公式，仅适用于圆形截面的构件。对于非圆截面杆，则不适用。例如取一矩形截面杆，扭转变形后截面发生了翘曲，不再是一个平面。其截面上的应力分布如P173-图7.16。参考“范”教学软件。在圆截面，开口、闭口圆环上的剪应力分布：当扭矩相同时，开口薄截面上的最大剪应力将是闭口情形下的几倍、甚至几十倍，扭矩变形相差很大。因此造闭口薄壁管子的焊接要焊好。20