材料力学003 第三章 轴向拉压变形

12第三章轴向拉压变形§3—1轴向拉压杆的变形§3—2拉压超静定拉压变形小结345§3—1轴向拉压杆的变形一、概念1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。二、分析两种变形LbFFL1b16LL1、轴向变形：ΔL=L1-L，（1）、轴向正应变线应变：LLL0lim无量刚。值为“+”——拉应变，值为“-”——压应变。（2）、在弹性范围内：ALFLNEALFLN----胡克定律E——弹性模量与材料有关，单位——同应力。EA——抗拉压刚度。7iiNiEALFLLLL321②当轴力为x的函数时N=N(x)——①当各段的轴力为常量时——LNEAdxxFLdLdLdL)(321（3）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。（4）、应力与应变的关系：（虎克定律的另一种表达方式）注意使用公式的时，轴力一定要代入其正、负号。EALFLNLLEAFNE82、横向变形：bbb1横向正应变：bb横向变形系数（泊松比）：三、小结：变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。正应变——微小线段单位长度的变形。泊松效应9F2FaaABCxFNF3F已知：杆件的E、A、F、a。求：△LAC、δB（B截面位移）εAB（AB段的正应变）。解：1、画FN图：2、计算：EAFaEAFaEAFaLLLEALFLBCABACN43).1(EAFaLBCB3).2(EAFaEAFaLLABABAB).3(10怎样画小变形放大图？（3）、变形图严格画法，图中弧线；（2）、求各杆的变形量△Li；（4）、变形图近似画法，图中弧之切线变形计算的应用：三角桁架节点位移的求法。C′C△L1L2△分析：（1）、研究节点C的受力，确定各杆的内力FNi；L2ABL1CF图111L1L2B′uBvB△△写出图2中B点位移与两杆变形间的关系分析：sinctg21LLvB2、1LuB1、22BBBvu3、L2BL1CA图2F12060sin6.12.18.060sinoNoNAFFFm)(55.113/kNFFN)(1511036.7655.119MPaAFN例：设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F=20kN，试求：刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：1）、求钢索内力：以ABD为研究对象：ABCDFFNFN2)钢索的应力和伸长分别为：60°ABCD60°F400400800刚索)(36.117736.766.155.11mmEALFLN13260sin60sin221DDBBC3）画变形图求C点的垂直位移为：60°ABCD60°F400400800刚索)(79.023236.160sin2mmLABCD刚索B′D′21c△△△14解：1、画轴力图2、由强度条件求面积AB：FN1（x1）=-F-γA1x1例：结构如图，已知材料的[]=2MPa，E=20GPa,混凝土容重=22kN/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△A。BC：FN2（x2）=-F-γL1A1-γA2x2AFNmaxmaxx1x2F=100kN12m12mABCxFNFF+γL1A1F+γL1A1+γL2A215222221111112)(2EALGEALGFEALGEAFLL211222211LALFAAALALF21022011)()()()(LNLNLNEAdxxFEAdxxFxEAdxxFL11111LFAAALF3、确定A截面的位移16CAF=300kNFNAFND)(186kNFNE解：求内力，受力分析如图)(24030042.3kNFNA)(6030048.0kNFND)(174kNFNG例：结构如图，AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成，已知材料的[]=170MPa，E=210GPa，AC、EG可视为刚杆，试选择各杆的截面型号和A、D、C点的位移。q=100kN/mEGCFBADF=300kNH0.8m3.2m1.2m1.8m2m3.4mq=100kN/mEGDFNEFNGFND17由强度条件求面积25.3cmACD29.10cmAEF22.10cmAGH按面积值查表确定钢号2312.1410170240cmAAB2121272556902cm.A),(:ABAB2189.12),32540(2:cmACDCD21609.52),54570(2:)(cmAGHEFEFNNFAAF18EALFLN求变形)(67.21054.141.24.32404mmEALFLABABNABABmmLCD91.0mmLEF74.1mmLGH63.1求位移,变形图如图mmLDGEGLLGHGHEFD70.1EGCFBADHA1C1E1D1G1mmLCDDC61.2mmLABA67.219§3—2拉压超静定一、概念1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数，只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数，只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。3、多余约束：在超静定系统中多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座。4、多余约束反力：多余约束对应的反力。ABDC132F20超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定）步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。2、根据变形协调条件列出变形几何方程。3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。EALFLN4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。5、超静定的分类（按超静定次数划分）：21三、注意的问题拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。ABDC132F例设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2=L、L3；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。22、几何方程——变形协调方程：补充方程：由力与变形的物理条件得：解：、平衡方程:、联立静力方程与力的补充方程得:0sinsin021NNFFX0coscos0321FFFFYNNNcos31LL333113333331121121cos2F;cos2cosAEAEFAEAEAEFAEFFNNNA1L2△△L1△L3yAaFaxFN2FN1FN3EALFLNcos33331111AELFAELFNNABDC132P23例木制短柱的四角用四个40*40*4的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷FFN24FN1Fy04021FFFYNN21LL、几何方程：、力的补充方程：解：、平衡方程:EALFLN22221111AELFAELFNNF24、联立平衡方程和补充方程得:FFFNN72.0F;07.021)(104272.0/1225072.0/222max2kNAF角钢面积由型钢表查得:A1=3.086c㎡、求结构的许可载荷：)(4.70507.0/1606.30807.0/11max1kNAFAFNmaxmaxAFNmax22max222max211max111max172.007.0AFAFAFAFNN［Fmax］=705.4kN25例图示结构,已知：L、A、E、a、F。求：各杆轴力。123FLaaAB解：1、平衡方程:2、几何方程：3、力的补充方程：4、联立平衡方程和补充方程得:0200012321aFaFMFFFFYNNANNN3122LLL3122NNNNFFFEALFL.65;31;61321FFFFFFNNN△L1△L2△L3FN1FN2FN3F26EALFLN、几何方程——变形协调方程：解：、平衡方程:FFN1FN2FN3ctgLsinLL321xyFL1L2L3A2LA21L3LA0A1A3、补充方程：由物理方程代入几何方程得：0sin0cos2123FFFFFNNNN——（1）——（2）ctgEALFEALFEALFNNN333222111sin——（3）、联立（1）、（2）、（3）得:321321;;;;NNNFFF27四、温度应力、装配应力一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。温度引起的变形量——tLL1、静定问题无温度应力。2、超静定问题存在温度应力。例如图所示，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固定,杆的上下两段的面积分别为=c㎡、=c㎡，当温度升至T2=25℃时,求各段的温度应力。E=200GPaC110*5.126aay28、几何方程：解：、平衡方程:021FFY0NTLLLF1F2、补充方程：、联立平衡方程和补充方程，得:2211NL;2EAaFEAaFTaLNNT022211TEAFEAF)(3.33F)(3.332N121kNFkNFFN29、温度应力：)(7.66111MPaAFN)(3.33222MPaAFN例已知：图示结构，A1=100mm2、L1=330mm、E1=200GPa、A2=200mm2、L2=220mm、E2=100GPaCtCC006206130;110*5.16;110*5.12求：FN1、FN2。ABC1224015030ABC2240150△L1△L2、几何方程：解：、平衡方程:、补充方程：、联立平衡方程和补充方程，得：0150240021NNcFFM15024021LL22222221111111tLAELFLtLAELFLNN)109011.0(581240165.021NNFF)(7.10);(68.621kNFkNFNNFN1FN231二）装配应力——预应力、初应力：2、超静定问题存在装配应力。1、静定问题无装配应力由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应力。ABC12ABDC132A132解：、平衡方程:0sinsin021NNFFX0coscos0321NNNFFFY例：如图1、2、3三杆用铰链连接，已知：各杆长为：L1=L2=L、L3；各杆面积为:A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABDC132A1A1FN3FN1FN233cos)(33331111AELFAELFNN、补充方程：、联立平衡方程和补充方程，得:/cos21cos33113211321AEAEAELFFNN/cos21cos23311331133AEAEAELFN、几何方程：13cos)(LL