材料力学4 截面图形的几何性质

14截面图形的几何性质24截面图形的几何性质4.1截面的静矩与形心4.2惯性矩与惯性积4.3平行移轴公式4.4惯性矩和惯性积的转轴公式4.5截面的主惯性轴和主惯性矩34.1截面的静矩与形心1.静矩yzOCdAyyCzCz任意平面图形A（例如杆的横截面）建立yz坐标系（x轴为杆的轴线）平面图形的形心C(yc,zc)图形对y轴的静矩AyzdAS图形对z轴的静矩AzydAS静矩的单位：m3,cm3,mm34ASAydAyzACASAzdAzyAC，静矩的性质（1）静矩与轴有关，可正可负可为零。（2）若yC,zC坐标轴过形心，则有0CyS0CzS（3）组合图形静矩可分块计算求代数和221121CCzzzyAyASSS（4）求形心AyAyAASyCCzC2211AzAzAASzCCyC2211A2c2A1c12.形心的位置4.1截面的静矩与形心5例1试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。yzb(y)byhOdy解：取平行于x轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d因此所以对x轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAx4.1截面的静矩与形心6例2试计算图示T型截面的形心位置。解：zC=0，只需计算yCCCzyyCzCCCzzCyy60206020将截面分为I、II两个矩形，建立如图所示坐标系。各矩形的面积和形心坐标如下：220mm60mm=1200mmAA10mmCy50mmCy22221200mm10mm+1200mm50mm30mm1200mm1200mmiiCCCCiAyAyAyyAAA于是：4.1截面的静矩与形心74.2惯性矩与惯性积1.惯性矩yOzdAyz图形对y，z轴的轴惯性矩AydAzI2AzdAyI2惯性矩的单位：m4,cm4,mm484.2惯性矩与惯性积yOzdAyz图形对原点的极惯性矩yzAApIIdAzydAI)(222图形对z轴和y轴惯性半径ZzIiAyyIiA9例3试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。zdzydyyzbhO解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素，则ddAby32222dd12hhzAbhIyAbyy同理32222dd12bbyAbhIzAhzz因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积0yzI4.2惯性矩与惯性积10例4试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。yzddO解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,d2πdA4222P0πd(2πd)32dAdIA由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的，故yzII4Pπ264yzIdII所以4.2惯性矩与惯性积11矩形：hbyz圆形：yzd123bhIz123hbIy644dIIyz324dIpz空心圆形：ydD)1(64644444DdDIIzy)1(3244DIpDd4.2惯性矩与惯性积122.惯性积整个截面对于z、y两坐标轴的惯性积dyzAIyzAyOzdAyz（1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。（2）若y,z轴有一为图形的对称轴，则Iyz=0。性质4.2惯性矩与惯性积13已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩及惯性积，现需导出该截面对于与形心轴xC，yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为CCyxII，CCyxI。和aybx1.平行移轴公式4.3平行移轴公式144.3平行移轴公式因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为ayybxxCC，于是有AaSaIAaAyaAyAayAyICCxxAACACACAx222222dd2dddAaIICxx2注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩等于零，从而有CxS154.3平行移轴公式同理可得以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。AbIICyy2abAIICCyxxyAaIICxx2164.3平行移轴公式2.组合截面的惯性矩及惯性积若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为nixyixyniyiynixixIIIIII111，，y2y1yxbd1hOd2x174.3平行移轴公式例5试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix，对于y轴的惯性矩Iy，以及对于x，y轴的惯性积Ixy。(a)184.3平行移轴公式解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。212xxxIII(1)求Ix设矩形对x轴的惯性矩为，每个半圆形对x轴的惯性矩为，则有1xI2xI其中：4433mm10333512mm200mm801221adIx194.3平行移轴公式8ππ32128π8ππ3222422dddddIIxxC至于则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得，而半圆形对于直径轴x'(图b)的惯性矩等于圆形对x'轴的惯性矩的一半，于是得8ππ3222ddIICxx64π4d2xI20然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：将d=80mm，a=100mm代入后得从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：8ππ328ππ32128π8ππ3222224222ddadddddaIICxx44mm1046732xI44mm1027012221xxxIII4.3平行移轴公式21（2）求惯性矩Iy此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有将d=80mm，a=100mm代入后得128π212224321ddaIIIyyy44mm100541yI4.3平行移轴公式22（3）求惯性积Ixy由可知，只要x轴或y轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积xydA数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积必定等于零。图a所示截面的x轴和y轴都是对称轴，当然Ixy=0。AxyAxyId4.3平行移轴公式234.4惯性矩和惯性积的转轴公式图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O旋转角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩,和惯性积。1xI1yI11yxI24由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标的关系为sincossincos11xyEBADACyyxBDOEOCx于是有AxyAyIAAxd)sincos(d2211AAAAxyAxAydcossin2dsindcos22222sinsincos22xyyxIII4.4惯性矩和惯性积的转轴公式25利用三角函数),2cos1(21cos)2cos1(21sin22和由上式得2sin2cos221xyyxyxxIIIIII（a）同理，根据AyxAxIAAyd)sincos(d2211AxyyxAyxIAAyx)dsincos()sincos(d1111有2sin2cos221xyyxyxyIIIIII（b）2cos2sin211xyyxyxIIII（c）式(a),(b),(c)就是惯性矩和惯性积的转轴公式。4.4惯性矩和惯性积的转轴公式261.截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值？AyxAIAAd)(d222p思考:2.将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意味着什么？3.试利用从基本概念上论证(2)中的问题。4.4惯性矩和惯性积的转轴公式27002cos2sin20000xyyxyxIIII有yxxyIII22tan0截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角，只需利用惯性积的转轴公式令便可导出。由000yxI4.5截面的主惯性轴和主惯性矩282202004)(22tan12tan2sinxyyxxyIIII以此代入惯性矩的转轴公式即得主惯性矩的计算公式：,4)(212220xyyxyxxIIIIII224)(2120xyyxyxyIIIIII根据上式利用三角函数关系将和写为02cos02sin220204)(2tan112cosxyyxyxIIIII4.5截面的主惯性轴和主惯性矩292cos2sin211xyyxyxIIII（c）与§7-2中关于平面应力状态下求斜截面上正应力和切应力的公式完全相似：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx注意到惯性矩的转轴公式(a)和惯性积的转轴公式(c):2sin2cos221xyyxyxxIIIIII（a）4.5截面的主惯性轴和主惯性矩30(Ix,Ixy)Ix0IxyIx,Iy(-)(Iy,-Ixy)(Ix1,Ix1y1)Iy0202由惯性圆显然可见，主惯性矩和就是截面对于通过同一点的所有轴的惯性矩中的极大值Imax和极小值Imin。0xI0yI1xI1yI而惯性矩转轴公式(b)所示的表达式实际上只需在的表达式(a)中以(+90)代替即得，这与求+90也完全相似。因此惯性矩和惯性积的转轴公式也可用与应力圆类似的一个圆——惯性圆来表达。上述计算主惯性轴方向角和主惯性矩值的公式也就可根据惯性圆上的几何关系来记忆。4.5截面的主惯性轴和主惯性矩31在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时，须先确定截面的形心C的位置，并取一对通过形心而相互垂直的轴xC,yC作为参考轴，计算出，，，然后求主惯性轴的方向角0和主惯性矩和。CxICyI0CxI0CyICCyxIxCyCC004.5截面的主惯性轴和主惯性矩321.试根据惯性积的转轴公式判断是否任何形心轴都是形心主惯性轴？思考:对于正方形截面:2.试根据惯性矩的转轴公式判断截面对于任何形心轴的惯性矩的值是否都是相等的？4.5截面的主惯性轴和主惯性矩33例6试确定图示不等边L形截面的形心主惯性轴的方向，并计算截面的形心主惯性矩。截面形心C的位置已示于图中。4.5截面的主惯性轴和主惯性矩34矩形Ⅰ的形心在参考坐标系xC,yC中的坐标为aΙ=15mm,bI=20mm矩形Ⅱ的形心在参考坐标系中的坐标为aⅡ=-25mm,bⅡ=-35mm解：(1)取与截面周边平行的形心轴xC，yC作为参考轴。将截面分为Ⅰ，Ⅱ两个矩形(如图所示)AⅠ=1200mm2,AⅡ=700mm24.5截面的主惯性轴和主惯性矩3544223223mm104.100])mm25(mm70012)mm70(mm10[])mm15(mm200112)mm10(mm120[CCCxxxIII(2)利用平行移轴公式求截面的,和CxICCyxICyI4.5截面的主惯性轴和主惯性矩364422Ιmm103.97)]mm35)(mm25(mm7000[)]mm20()mm15(mm12000[CCCCCCyxyxyxIII由于通过矩形Ⅰ和Ⅱ各自形心而平行于xC，yC的轴是它们各自的对称轴，故上式在计算中每一矩形对于其一对相互垂直的形心轴的惯性积为零。44223223Ι