材料力学――5梁的弯曲应力

12§5–1引言§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力§5–3梁横截面上的剪应力§5–4梁的正应力和剪应力强度条件梁的合理截面§5–5非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心§5–6考虑材料塑性时的极限弯矩第五章弯曲应力§5－１引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q剪应力t弯矩M正应力s平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法纵向对称面P1P2例如：某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):§5－2平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、纯弯曲时梁横截面上的正应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM横截面上只有正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。A1B1O1O4.几何方程：(1)......yxabcdABdqxy11111OOBAABABBAx)))OO1)qqqyyddd)(（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。(2)......sEyExxsxsx（三）静力学关系：0dddszAAAxESAyEAEyAN轴过形心中性)(0zSz0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（对称面）MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zzEIM1……(3)EIz杆的抗弯刚度。(4)......zxIMys（四）最大正应力：zWMmaxs……(5)DdDda)1(3243maxaDyIWzz圆环bB)1(6332maxBHbhBHyIWzz回字框maxyIWzz抗弯截面模量。例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5.678/3608/22maxqLM451233m10832.5101218012012bhIz34m1048.62/zzIWMPa7.6110832.560605121zIyMss求应力18030MPa6.921048.66041max1zWMsm4.1941060832.520011MEIzMPa2.1041048.65.674maxmaxzWMs求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax1212018030§5－3梁横截面上的剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力1、两点假设：剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力相等。2、研究方法：分离体平衡。在梁上取微段如图b；在微段上取一块如图c，平衡0)(112dxbNNXtdxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1t图a图b图cdxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1t图a图b图czzAzAIMSAyIMANdd1szzISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1t由剪应力互等zbIQSy1)(ttt)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScztt5.123maxAQ)4(222yhIQz矩tQt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：zzbIQS1t其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；2、几种常见截面的最大弯曲剪应力Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b为y点处截面宽度。①工字钢截面：maxtmint;maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。;maxAQtf②圆截面：tt3434maxAQ③薄壁圆环：tt22maxAQ④槽钢：xyzPQRRzzbIQS，合力为腹板上;t。合力为翼缘上HzIQA;21t0)d(AxdAM力臂tRHheQeQeh§5-4梁的正应力和剪应力强度条件•梁的合理截面1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QtsssMt一、梁的正应力和剪应力强度条件2、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）ttzzIbSQmaxmaxmaxsszWMmaxmax3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts4、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：][];[maxmaxttss][maxsMWz)(][];[maxmaxMfPWMzs解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL–+x求最大应力并校核强度应力之比7.1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL–+x][7MPa6.25MPa18.012.040506622maxmaxmaxssbhMWMz][0.9MPa0.375MPa18.012.054005.15.1maxmaxttAQy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[sL]=30MPa，[sy]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5.10;kN5.2BARR)(kNm5.2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度MPa2.2810763885.2822zCLAIyMsMPa2.2710763524813zBLAIyMsMPa2.4610763884824zByAIyMsLLss2.28maxyyss2.46maxT字头在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为刚度最大。时强度最大时,3;,2bhbhbhAQ3433.1mmaxtt3231DWz13221.186)(6zzWRbhWmmax5.1tt)2/(;,41221DRaaD时当强度：正应力：剪应力：1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面sszWMttzzbIQS*其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaamtt2max143375.2)0.8-(132zzWDW1222167.1,4])8.0([4DDDDD时当1121212,24DaaD时当1312467.1646zzWabhWmtt5.1maxzD0.8Da12a1z)(=3.2mmaxfAQtt工字形截面与框形截面类似。1557.4zzWW1222222105.1,6.18.024DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：2、根据材料特性选择截面形状sGz（二）采用变截面梁，如下图：最好是等强度梁，即][)()()(maxssxWxMx若为等强度矩形截面，则高为][)(6)(sbxMxh同时][)(5.1maxttxbhQ][5.1)(tbQxhPx§5-5非对称截面梁的平面弯曲•开口薄壁截面的弯曲中心轴过形心中性)(z0zS0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM0dd)d(szAAAESAyEAEyAN外力要与主轴共线。轴必须为截面主惯性轴、,0zyIyz几何方程与物理方程不变。PxyzOMEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22exdAMAx轴到杆轴的距离依此确定力臂,0)d(t依此确定正应力计算公式。剪应力研究方法与公式形式不变。弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。（如前述坐标原点O）PxyzO槽钢：非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。xyzPPsMQRRzzbIQS，合力为腹板上;t。合力为翼缘上HzIQA;21t0)d(AxdAM力臂tRHheQezzbIQSτ:求任意一点剪应力弯曲中心的确定:ACdAM力臂向形心简化)d(:t(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。(4)求弯心的普遍方法：yCeQMe:求弯心到形心距离CCCQyeCssss§5-6考虑材料塑性时的极限弯矩（一）物理关系为：sxss全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。sssss理想弹塑性材料的s图ssss弹性极限分布图塑性极限分布图（二）静力学关系：)(依此确定中性轴的位置CSAA0)(dd)(dCSsAsAsAAAAAANSCssss)(轴的位置依此确定yCySySS0)(dd)()d(cySysAsAsAySSAzAzzAMLCssss（一）物理关系为：sxssyzxssMjx横截面图正应力分布图压拉ASASAzAyAyyAMdd)d(sssjxzzSMSS)(压拉syzxssMjx横截面图正应力分布图)(zzSjx