第2章(1) 系统微分方程

jik021第2章系统的数学模型模型种类：形象模型、物理模型、数学模型。数学模型：描述系统输入、输出及内部各变量之间关系的数学表达式。本课程所涉及的数学模型包括微分方程——时域传递函数——复域频率特性——频域数学建模的一般方法：1、分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。2、实验法：根据实验数据进行整理，拟合出比较接近实际系统的数学模型。jik022§2.1系统的微分方程一.线性系统微分方程的规范化形式)()()()(01)1(1)(txatxatxatxaoononnon)()()()(01)1(1)(txbtxbtxbtxbiimimmimnjmiiiijojtxbtxa00)()()()(线性定常系统：各系数都是常数；jik023叠加原理：系统xi1(t)(t)o1x系统i2(t)xo2x(t)系统a1a2i2(t)xxi1(t)a1(t)o1xa2o2x(t)+线性定常系统：()3()7()4()5()oooiixtxtxtxtxt)(5)(4)(7)(3)(2txtxttxtxtxiiooo线性时变系统：非线性系统：)(5)(4)(7)(3)(2txtxtxtxtxiiooojik024二．微分方程的建立建立系统微分方程的一般步骤（1）确定系统及各元件(环节)的输入和输出;（2）列写各环节输入输出的动力学方程(子方程)；（3）消去中间变量；（4）整理得到标准形式。典型元件所遵循的物理规律机械系统电气系统maFkxfxccvfRiudtdiLuLidtCuC1jik025).()()()(tymtyctkytf).()()()(tftkytyctym)()(22tftkydtdycdtydm将输出变量写在等号左边，输入变量项写在等号右边，阶次从高到低排列，得标准微分方程)(tf)(ty工件铣刀工作台动力滑台kcm)(tf)(tymfykycy例2.1机械移动系统jik026)(1)(2tfkcpmpty)(tf)(ty12kcpmp)(tfkcp+2mp1)(ty+-)(tb2)()()()(mptykcptfty阻尼力和弹簧恢复力)()()(tykcptb构成内反馈，是对外推力的反作用。输出=算符×输入)()()(2tftykcpmpdtdp令jik027例2.2L,R,C电路CL)(ti1R2R1)(tio)(tui)(tu1)()(titi输入：)(tui原始方程)()()()(o1itutiRtiLtu21o)]()([)(RtititudttiCtu)(1)(1o输出：)(tuo。)()()()()()(221212tuRtuRRtuCRRLtuCLRiooo整理得jik028例2.3电枢控制式直流电动机R1)(tiFqRffLfua)(tua)(tiifMLML输入:电枢电压)(atu;输出:电机转速ω(t)电压平衡方程:)()()()(tetRidttdiLtuaaa反电动势:)()(tkted力矩平衡方程:)()()(tMtJtML电磁转矩:)()(tiktMamjik029消去中间变量M(t)、ia(t)、e(t)mmddmmdaCJTCkTkkRJTRL//1)/(/，，，令)()()(1)()()(tMkkRtMkkLtukttkkRJtkkLJLmdLmdadmdmd)()()()()()(tMCtMTCtuCttTtTTLmLamadmma三．微分方程的增量化表示若电动机处于平衡状态，变量的各阶导数均为0，则有LmadMCuC（静态模型）jik0210设平衡点是(ua0、ML0、ω0)，则000LmadMCuC当偏离平衡点时，000LLLaaaMMMuuu)()()(000000LLmLLamaadmmaMMCMMTCuuCTTT）（）（）（则LmLamadmmaMCMTCuCTTT即（增量方程）讨论：（1）增量方程与实际坐标方程形式相同；（2）当平衡点为坐标原点时，两者等价。jik0211四．非线性微分方程的线性化1、几种典型的非线性特性oykxccf)继电特性e)死区d)间隙c)饱和b)弹性变形a)运动阻尼jik02122、小偏差线性化（微偏法）原理：将非线性函数在平衡点附近按泰勒级数展开，取其线性部分。泰勒级数：设有一单调连续非线性函数y=f(x)，在平衡点(x0,y0)及其邻域内，它的各阶导数存在并惟一，则可将该函数在此平衡点展开如下2000)(21)()()(xxfxxfxfxfyxxxxnxxnxxfn0)(!1)(jik0213由于是小偏差，增量很小，故可省略二次及二次以上的幂，可得xxfxfxfyxx0)()()(0xKxxfxfxfyxx0)()()(0增量表达式为小偏差线性化的几何意义：在平衡点及其邻域内用切线代替曲线，其中K是非线性函数在x0处的斜率。所谓增量指的不是各个变量的绝对数量，而是它们偏离平衡点的量，若初始条件为零，可得xKyjik0214例：阀控油缸伺服系统：高压油油池阀芯油缸mAqyxp2p1油池负载cqF原理：问题：求)(xfy物理量：（1）系统动力学方程：（不显含x）（2）液压缸工作腔流体连续性方程：yAqmycypAjik0215（3）负载流量q与阀芯位移x,压差p的关系：),(pxqq（非线性函数）(4)将),(pxqq线性化设平衡位置(状态)为x0，p0。泰勒级数),(pxq)(),()(),(),(00000000ppppxqxxxpxqpxqppxxppxxjik0216q=),(pxq-),(00pxqpppxqxxpxqppxxppxx0000),(),(00),(ppxxqxpxqK∶流量增益∶流量-压力系数00),(ppxxcppxqKKc右端置负号的原因导致yAq↓0),(00ppxxppxq线性化函数：pKxKqcq负载流量的微增量与阀芯位移微增量及压力微增量成线性关系。p↑，表明负载增大，→y↓，jik0217pKxKqcq（线性）代入系统动力学方程2()qccAKAmycyxKKmycypA选工作点0),(00pxq，00x，00p，yAq)(1)(1yAxKKqxKKpqcqcjik0218非线性微分方程在一定条件下可进行线性化处理。线性化的条件：（1）非线性函数是连续函数；（2）系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小。线性化的方法：（1）确定预定工作点；（2）在预定工作点附近将非线性方程展开成泰勒级数；（3）忽略二阶及二阶以上的高次项；（4）表示成增量方程的形式。jik0219小结1.建立系统微分方程的一般步骤；2.线性化方法.作业：P752.22.32.42.6