高考数学立体几何真题及模拟试题专题练习

1高考数学立体几何真题及模拟试题专题练习1、如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．2、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。ACBP23、如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2,60ABBAD.(Ⅰ)求证：BD平面;PAC（Ⅱ）若,PAAB求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.4、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由DPABC3PFEABCFA1CPBE5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，=90ABD，EB平面ABCD，EF//AB，=2AB，=3,=1EBEF，=13BC，且M是BD的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF；（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小；（Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由.6、如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足1AEFCCP.将△AEF沿EF折起到△1AEF的位置，使二面角1AEFB成直二面角，连结1AB，1AP.（如图2）（Ⅰ）求证：EA1⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线EA1与平面BPA1所成角的大小.图1图2CAFEBMD47、在四棱锥PABCD-中，AB//CD，ABAD^，4,22,2ABADCD===，PA^平面ABCD，4PA=.（Ⅰ）设平面PAB平面PCDm，求证：CD//m；（Ⅱ）求证：BD平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为33，求PQPB的值．8、如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，60DBFDAB，且FAFC．（Ⅰ）求证：AC平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；（Ⅲ）求二面角BFCA的余弦值．PDCBAECBADF59、如图所示，PA^平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，30CBA??，2PAAB==，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC^平面PCB；（Ⅲ）设二面角MBPC的大小为，求cos的值．10、如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，BCAB，BCCDAB22，EAEB．（Ⅰ）求证：ABDE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．MEBOCAP6BAMDNC11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，//EFAB，=4,=2,=1ABAEEF.（Ⅰ）若点M在线段AC上，且满足14CMCA,求证：//EM平面FBC；（Ⅱ）求证：AF平面EBC；（Ⅲ）求二面角--AFBD的余弦值.12、如图,矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC,MNMB，且MCCB，2BC，4MB，3DN．（Ⅰ）求证：//AB平面DNC；（Ⅱ）求二面角DBCN的余弦值.ECBDMAF7高考数学立体几何真题及模拟试题专题练习答案1、解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PDCD，．APBP，PDAB．ACBC，CDAB．PDCDD，AB平面PCD．PC平面PCD，PCAB．（Ⅱ）ACBC，APBP，APCBPC△≌△．又PCAC，PCBC．又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC．取AP中点E．连结BECE，．ABBP，BEAP．EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．在BCE△中，90BCE，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE．二面角BAPC的大小为6arcsin3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB平面PCD，平面APB平面PCD．过C作CHPD，垂足为H．平面APB平面PCDPD，CH平面APB．CH的长即为点C到平面APB的距离．由（Ⅰ）知PCAB，又PCAC，且ABACA，PC平面ABC．CD平面ABC，PCCD．ACBDPACBEPACBDPH8在RtPCD△中，122CDAB，362PDPB，222PCPDCD．233PCCDCHPD．点C到平面APB的距离为233．解法二：（Ⅰ）ACBC，APBP，APCBPC△≌△．又PCAC，PCBC．ACBCC，PC平面ABC．AB平面ABC，PCAB．（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz．则(000)(020)(200)CAB，，，，，，，，．设(00)Pt，，．22PBAB，2t，(002)P，，．取AP中点E，连结BECE，．ACPC，ABBP，CEAP，BEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．(011)E，，，(011)EC，，，(211)EB，，，23cos326ECEBBECECEB．二面角BAPC的大小为3arccos3．（Ⅲ）ACBCPC，ACBPzxyHE9C在平面APB内的射影为正APB△的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系Cxyz．2BHHE，点H的坐标为222333，，．233CH．点C到平面APB的距离为233．2、证明：（I）设AC与BD交与点G。因为EF//AG，且EF=1，AG=12AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF//平面EG，因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0）.所以22(,,1)22CF，(0,2,1)BE，(2,0,1)DE.所以0110CFBE,1010CFDE所以CFBE,CFDE.所以CFBDE.(III)由（II）知，22(,,1)22CF是平面BDE的一个法向量.设平面ABE的法向量(,,)nxyz,则0nBA，0nBE.即(,,)(2,0,0)0(,,)(0,2,1)0xyzxyz10所以0,x且2,zy令1,y则2z.所以(0,1,2)n.从而3cos,2||||nCFnCFnCF。因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED的大小为6.3、证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以PABD又因为PA平面ABCD。所以PABD，所以BD平面PAC。（Ⅱ）设0ACBD，因为060,2BADPAAB所以1,3BOAOCD，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,3,2),(0,3,0),(1,0,0),(0,3,0)pABC所(1,3,2),(0,23,0)PBAC设PB与AC所成角为，则cosPBACPBAC6642223（Ⅲ）由（Ⅱ）知(1,3,0),BC设(0,3,)Pt(0)t。则(1,3,),BPt设平面PBC的法向量(,,),mxyz则0,0BCmBPm，所以30,30xyxytz令3,x则3,y6zt，所以6(3,3,)mt同理，平面PDC的法向量n6(3,3,)t，因为平面PBCPDC，所以0mn，即660t解得6t，所以6PA。4、解：（1）CDDE，1AEDEDE平面1ACD，又1AC平面1ACD，1ACDEzyxA1(0,0,23)D(-2,0,0)E(-2,2,0)B(0,3,0)C(0,0,0)M11又1ACCD，1AC平面BCDE（2）如图建系Cxyz，则200D，，，0023A，，，030B，，，220E，，∴10323AB，，,1210AE，，设平面1ABE法向量为nxyz，，则1100ABnAEn∴323020yzxy∴322zyyx∴123n，，又∵103M，，∴103CM，，∴1342cos2||||14313222CMnCMn∴CM与平面1ABE所成角的大小45（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为00a，，，则03a，则1023APa，，，20DPa，，设平面1ADP法向量为1111nxyz，，则111123020ayzxay∴11113612zayxay∴1363naa，，假设平面1ADP与平面1ABE垂直则10nn，∴31230aa，612a，2a∵03a∴不存在线段BC上存在点P，使平面1ADP与平面1ABE垂直5、证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN,NF.在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以1=2MN//AB,MNAB，又因为1=2EF//AB,EFAB，所以MN//EF且MN=EF.所以四边形MNFE为平行四边形，所以EM//FN.又因为FN平面ADF，EM平面ADF，故EM//平面ADF.……………4分解法二：因为EB平面ABD，ABBD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-Bxyz.……………1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),BADNCAFEBMD123(3,-2,0),(0,0,3),(0,1,3),(,0,0)2CEFM（Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=，=(0,-1,3)AF.……………2分设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn.由0,0,ADAFnn得323x-y=0,-y+z=0.令y=3，则(2,3,3)n.……………3分又因为3(,0,-3)(2,3,3)=3+0-3=02EMn，所以EMn，又EM平面ADF，所以//EM平面ADF.……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是(2,3,3)n.因为EB平面ABD，所以EBBD.又因为ABBD，所以BD平面EBAF.故(3,0,0)BD是平面EBAF的一个法向量.所以1cos=2BDBD,BDnnn，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60.……………10分（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30.不妨设(0,0,t)P（03t），则=(3,-2,-),=(0,-1,3)PCAFt.所以2-3cos22PCAFtPC,AFPCAFt+13，由题意得2-33222tt+13，化简得4335t，解得35043t.所以在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成