第二章 开普勒方程

第二章开普勒方程主讲教师：杏建军2020年1月19日2授课内容1.卫星轨迹的预测2.开普勒方程的求解3.开普勒轨道根数31.1轨道预报已知t0时刻卫星的位置r0，速度v0，预报时刻t,卫星的位置r和速度v在极坐标下rrriieipcossineprfrfriisin(cos)epfefhhvii如何计算的?41.1轨道预报00000000cossinsin(cos)cossinsin(cos)epepepeprfrffefhhrfrffefhhriiviiriivii00200020cossincossincoscosefhfheffhfhefe0p0iriv51.1轨道预报00200020cossincossincoscosefhfheffhfhefe0p0iriv带入位置r和速度v的表达式中0000(,)(,)(,)(,)ttFffGffFffGff00rrvv回到原始问题，已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v61.1轨道预报00ttff需要2dfrhdt开普勒第二定律主要求解出上述方程，就可以得到真近点角f与时间t之间的关系，进而预报卫星在轨道的位置和速度。7授课内容1.卫星轨迹的预测2.开普勒方程的求解3.开普勒轨道根数82.1开普勒方程21cosdfprhrdtef当0≦e1时，引入一个新的角度E（偏近点角）在以C点（椭圆中心）为原点的坐标系中2222cos1sinxaExyybEab92.1开普勒方程在以F点（椭圆一个焦点）为原点的坐标系时，椭圆参数方程为1cosprrpexef坐标系原点平移到C点后，椭圆参数方程为()rpexae22(1)()raeexaeaex得到r与E的数学关系cos(1cos)raeaEaeE102.1开普勒方程(1cos)raeE2(1)1cosaerefcoscos1cosEefeE进一步，可以得到1cos(1)(1cos)afeEr1cos(1)(1cos)afeEr222sin2sin221cos(1)(1cos)fEafeEr222cos2cos221cos(1)(1cos)fEafeEr112.1开普勒方程(1)tantan2(1)2feEe上述两式相除，再开平方，得到上式两边同时对时间求导数22(1)secsec2(1)2feEdfdEe222cos2cos221cos(1)(1cos)fEafeEr21rdfaedEbdE122.1开普勒方程由开普勒第二定理2dfrhrbdEhdtdt2(1cos)(1)aeEbdEaedt3(1cos)eEdEdtnta积分，得到sin()EeEnt著名的开普勒方程，表示了时间与真近点角的函数关系，其中τ是一个新的积分常数132.1开普勒方程sinEeEM定义平近点角M：()Mnt通过开普勒方程，可以得到运动时间t与偏近点角E，根据E与真近点角f的关系，得到f，进而进行卫星轨道的预报。现在的问题是如何求解开普勒方程？142.2开普勒方程的求解0102110sinsinsinkkEEMeEEMeEEMeE第一种方法：序列迭代法迭代停止条件1kkEE152.2开普勒方程的求解迭代格式是否收敛？1111sinsin112sincos22kkkkkkkkEEeEEeEEEE1111012sin2kkkkkkkkEEeEEeEEeEEMe课堂练习：编制开普勒迭代求解matlab程序162.2开普勒方程的求解M=pi/2;E0=0;E1=1;tem=0;e=0.2;n=0;while(abs(E1-E0)1e-6)E0=tem;E1=M+e*sin(E0);tem=E1;n=n+1;endn当n=6时，E收敛172.2开普勒方程的求解()yxy第二种方法：拉格朗日方法（1770年）考虑函数α为一个小参数，如椭圆偏心率22200(,)(0,)2!yyyxyx(0,)yxx()()yyyyy0()()yyx182.2开普勒方程的求解2222222()()()yyyyyyyyyyyy2200022()yyxyy2()2()ddxxdxdx110()nnnnnydxdx22111()()(,)()()2!!nnnnndxdxyxxxodxndx192.2开普勒方程的求解2111()()(,)()()2!!nnnnndxdxyxxxodxndx开普勒方程的拉格朗日级数解22111sinsinsin()2!!nnnnnedMdMEMeModMndME=M+e*sin(M)+e^2/2*2*cos(M)*sin(M)+e^3/6*(6*cos(M)^2*sin(M)-3*sin(M)^3)+e^4/24*(24*cos(M)^3*sin(M)-40*cos(M)*sin(M)^3)+e^5/120*(65*sin(M)^5+120*cos(M)^4*sin(M)-440*cos(M)^2*sin(M)^3)202.2开普勒方程的求解拉格朗日系数求解问题5442354120cossin440cossin65snnsiiMMdMMMdMMn=5;symsM,n;ff=diff(sin(M)^n,n-1)拉格朗日级数收敛问题0.6627434194e212.2开普勒方程的求解()0fx第三种方法：牛顿迭代法给定方程解的一个初始猜测值x001010()()()0xffxfxxxx01100()xfxxfxx11()kkkkxfxxfxx迭代停止条件1kkxx222.2开普勒方程的求解()sinfEEMeE1sin1coskkkkkEMeEEEeE课堂练习题：推导开普勒方程的牛顿迭代格式，并编制Matlab程序，比较与第一种迭代格式的区别第一种迭代格式1sinkkEMeE232.2开普勒方程的求解M=pi/2;E0=0;E1=1;tem=0;e=0.8;n=0;while(abs(E1-E0)1e-6)E0=tem;E1=M+e*sin(E0);%E1=E0-(E0-M-e*sin(E0))/(1-e*cos(E0));tem=E1;n=n+1;endne=0.8时，第一种迭代格式需要20次，牛顿迭代法需要6次242.2开普勒方程的求解其他方法：1.傅里叶级数法2.高斯法e=1，抛物线;e1,双曲线有类似的结果252.2开普勒方程的求解课后作业应用三种方法求解开普勒方程，计算M=260°，e=0.8时的偏近点角E和真近点角f，并对结果进行对比分析。262.3卫星轨道的预报已知t0,r0,v0，求时刻t的r和速度v0000(,)(,)(,)(,)ttFffGffFffGff00rrvv0000000001.,2.3.4.,5.,,ffEMMtMEffrvrvrv，0011revhr000cosrefer00(1)tantan2(1)2fEee000sinEeEM00()Mnt272.3卫星轨道的预报课后作业以x0=[-5292392.072;-4862.201380;3111662.355;-4136.781314;3101114.660;-4147.028008]人造地球轨道卫星的初始条件，应用本节的知识，预测2天后卫星的位置和速度，并与Matlab的结果进行比较。28授课内容1.卫星轨迹的预测2.开普勒方程的求解3.开普勒轨道根数293.1开普勒轨道根数已经得到的二体运动方程积分常数轨道角动量矢量h，偏心率矢量e，卫星过近地点时刻τRcossin0cosisincosicossinisinisincossinicosisinsinsincoscoshihihixyzhiiicoscoszhiarchtan(,)xyarchh2(1)hae303.1开普勒轨道根数cosnnieienziihcosfrere313.1开普勒轨道根数轨道根数描述轨道大小半长轴a常数轨道形状偏心率e常数轨道面方位轨道倾角i和升交点赤经Ω常数轨道方位近地点角距ω常数航天器在轨道中的位置真近点角f非均匀变化平近点角M均匀变化纬度幅角ω+f非均匀变化323.2开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹：航天器质心与地心连线与地球表面的交点()15NTh航天器轨道周期333.2开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹与轨道半长轴地球同步轨道343.2开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹与轨道倾角星下点轨迹的最高纬度就是航天器轨道倾角353.2开普勒轨道根数与星下点轨迹星下点轨迹与轨道偏心率363.3开普勒轨道根数的计算coscoszhiarchtan(,)xyarchh222(1)(1)hhaeaehrv已知位置矢量和速度矢量，求6个轨道根数11revhreecosnnieie[001]nihcosfrere373.3开普勒轨道根数的计算cossin0ephephrfrfriiisin(cos)0ephephfefhhviii已知6个轨道根数，求卫星位置矢量和速度矢量ieip22/(1)1cos1coshaerefef383.3开普勒轨道根数的计算RIRz.Rxi.Rzcos()cos()cos()sin()sin()cos()sin()cos()cos()sin()sin()sin(cos()cos()sin()cos()sin()cos()cos()cos()sin()sin()cos()sin()sin()sin()cos()sin()cos()iiiiiiiiiIIephrRrIIephvRv393.3开普勒轨道根数的计算第一章作业functionrobit_computermu=3.986004418e+14;%地球引力常数tspan=[0:60:86400];options=odeset('AbsTol',1e-15,'RelTol',1e-12','NormControl','on');x0=[-5292392.072;-4862.201380;3111662.355;-4136.781314;3101114.660;-4147.028008];[T,Y]=ode45('orbit',tspan,x0,options,mu);课后作业：将第一章作业中计算的每一个时刻的位置速度转换6个轨道根数，然后再转换为位置速度，并于原来结果进行比较，画出二者的误差图。40本章小结ttFGFG00rrvv航天器轨道的预报00200020cossinsincossin(cossincoscocoss)ttefrf