简易逻辑

简易逻辑〖考纲要求〗了解命题的概念和命题的构成；掌握简单逻辑连接词“或”“且”“非”的含义；、能判断简单命题与复合命题的真假（由真值表判断复合命题的真假）、掌握四种命题的关系、掌握充要条件的判断、理解反证法的理论依据并且会用反证法证明数学命题一定需要注意〖复习建议〗本内容宜从简，要从最基础入手，特别是命题的构成不能追究太多，否则作茧自缚。其中判断简单命题与复合命题的真假与充要条件的判断是本内容的重点，而利用命题关系研究新的数学命题是难点，需要在此处多加注意〖知识梳理〗命题与逻辑连接词；1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题2．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；3．不含逻辑联结词的命题称为简单命题_；有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p，则q”的形式；4．含有逻辑联结词的命题称为__复合命题，复合命题有三种形式p且q、p或q、非p对一个命题p的全盘否定,就得到一个新的命题,记作__p_，读作非p__通常复合命题的否定“p或q”的否定为“p且q”、“p且q”的否定为“p或q”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等5．三种复合命题的真值表：（1）“p且q”：一假即假（2）“p或q”：一真即真（3）“非p”：真假相反6．短语“_对所有的”、“对任意一个”逻辑中称为全称量词，并用符号“_____”表示。7．短语“存在一个”、“_至少有一个”逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示。8．含有全称量词的命题称为全称命题__；含有存在量词的命题称为__特称命题__.9．全称命题形式：,()xMpx；特称命题形式：,()xMpx。其中M为给定的集合，特别提醒：全称命题p：,()xMpx的否定p：,()xMpx；全称命题的否定为特称命题特称命题p：,()xMpx的否定p：,()xMpx；特称命题的否定为全称命题其中p(x)是一个关于x的命题。10、四种命题及关系；（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_和条件_，那么这两个命题叫互逆命题.（2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题.（3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_和_条件的否定_____，那么这两个命题叫互否命题.特别提醒：可以发现：（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：（2）互为逆否命题的真假性是一致的,互逆命题或互否命题真假性没有关系.一般地，把条件p的否定和结论q的否定，分别记为“┐p”和“┐q”，则命题的四种形式可写为：原命题：“若p若q”逆命题：“若q若p”否命题：“若┐p是┐q”逆否命题：“若┐q是┐p”特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是“若p则q”11．充要条件；判断方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件pqpq②p是q的必要不充分条件pqpq③p是q的充要条件pqqp④p是q的既不充分也不必要条件pqpq如果“若p则q”为真,记为,pq,如果“若p则q”为假,记为pq.若,pq则p是q的充分,q是p的必要___（2）集合法：设P={p},Q={q},①若__PQ,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若___P=Q_______，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.原命题若p则q逆命题若q则p否命题若非p则非q逆否命题若非q则非p互逆互互互为为互否逆逆否否否互逆③若______PQ且QP_______，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①q是p的充分条件不必要条件p是q的______充分条件不必要条件_②q是p的必要条件不充分条件p是q的___充分条件不必要条件③q是p的充分要条件p是q的____充要条件_____④q是p的既不充分条件与不必要条件p是q的__既不充分条件与不必要条件_特别提醒：1、解决充要条件的逆向问题时,往往从集合角度考虑,会更方便快捷,设P={p},Q={q},①若p是q的充分不必要条件，则PQ②若q是p的必要不充分条件，则PQ③若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.④若PQ且QP，则p是q的既不充分也不必要条件.2、证明p是q的充要条件，既要证“pq”，又要证“qp”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性.12.用反证法证明的一般步骤是：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.特别提醒：1、适宜用反证法证明的数学命题：(1)结论本身以否定形式出现的命题.(2)关于唯一性、存在性的的命题.(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.2.用反证法证明引出矛盾的四种常见形式:(1)与定义、公理、定理矛盾.(2)与已知条件矛盾.(3)与假设矛盾.(4)自相矛盾.（三）例题分析：考点一。逻辑联结词与四种命题题型1。判断简单命题及真假[例1]下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？①等腰直角三角形难道不是直角三角形吗？”；②“平行于同一平面的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“今天的天气多好啊！”；⑤“xy为有理数，则x、y也都是有理数”；⑥“作ABC∽111ABC”.解：根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假.①通过反问句，对等腰直角三角形是直角三角形作出判断，是真命题.②疑问句，没有对平行于同一平面的两条直线是否平行作出判断,不是命题；③是假命题,数0既不是正数也不是负数.④感叹句,不是命题.⑤是假命题,如2,2xy.⑥祈使句,不是命题.命题有:①③⑤；真命题有:①点拨:判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假.一般地,陈述句、反问句都是命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.[例2]下列四个命题中，真命题的个数为（）A（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若lMlMM则，,,；（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。A.1B.2C.3D.4[解题思路]：根据命题本身涉及的知识去判断真假，判断一个命题为真，一般要进行严格的逻辑推理，但判断一个命题为假，只要举出一个反例即可.解析：（1）是假命题，两平面也可能相交；（2）是假命题，若两直线是异面直线，不可能确定一个平面；（4）是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该平面相交。[例3]你能将把下列命题写成“若p若q”的形式，并判断其真假吗?(1)实数的平方是非负数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.(4)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.解：(1)若一个实数,则它的平方是非负数.这个命题是真命题.(2)若两个三角形等底等高,则这个三角形是全等三角形.这个命题是假命题.(3)若一个数能被6整除的数,则它既能被3整除也能被2整除.(4)若一条直线是弦的垂直平分线,则它经过圆心并平分弦所对的弧.点拨:将命题写成“若p若q”形式时,一定要注意找出命题的条件和结论,同时要注出意叙述条件和结论完整性.题型2（1）逻辑联结词“非”的含义[例4]写出下列命题p的非(否定)。（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三条直线两两相交（3）p：一元二次方程至多有两个解（4）p：23x（5）“矩形的对角线相等”的否定是__________________解:（1）p：100不能被4整除，或不能被5整除（2）p：三条直线不都两两相交（3）p：一元二次方程至少有三个解（4）p：2x或3x（5）存在矩形对角线不相等点拨:“aA且aB”的否定形式是“aA或aB”，而“aA或aB”的否定形式是“aA且aB”.写出命题的非（否定），需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否定列举如下：正面词语且小于（）都是都不是至少n个至多n个否定词语或不小于（≥）不都是至少有一个是至多n－1个至少n+1个正面词语任意的所有的有无穷多个存在唯一的对任意p，使…恒成立否定词语某个某些只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个p，使…不成立（2）命题的否定与命题的否命题的区别[例5]写出命题：“若ab，则11ab”的否定与否命题，并加以区别。解析:命题的否定：若ab，则11ab命题的否命题：若ab，则11ab点拨:命题的否定，是对整个命题进行否定，侧重于对命题结论的否定.如具体到“若p则q”而言，命题的否定是只否定结论不否定条件.而命题的否命题则是既否定条件又否定结论.（3）全称量词与存在量词[例6]：写出命题“若3x，则5x”的否定解析：“若3x，则5x”显然两个命题都是假命题，这就与复合命题中的真值表相矛盾.那么问题出在哪呢？实际上命题是省略了全称量词，命题里的“3x”是指“对于任意的3x”.所以原命题的否定形式就是：“存在3x，使得5x”.这时原命题是假命题，而否定形式就是真命题.所以在判断复合命题的形式时，要准确理解命题的本质含义，尤其注意在一些表述中命题所隐含的全称量词.点拨：全称量词有时会被省略。如：不少学生认为命题：“不等式240x的解为2x或2x”是“p或q”形式的复合命题：p：不等式240x的解为2xq：不等式240x的解为2x显然p假q假，但“p或q”确为真，这与真值表相矛盾.实际上问题还是与上面的一样，命题里的“解”是指“所有的解”，这样“2x或2x”就是一个整体，所以上面的命题不是“p或q”形式的复合命题，应该是个简单命题.题型3.指出复合命题的形式及构成它的简单命题，反之能写出“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，判断复合命题的真假[例7]分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:（1）3是质数或合数.（2）他是运动员兼教练员.（3）相似三角形不一定是全等三角形.[解题思路]：根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，“且”“或”“非”进行命题结构的判断.解析：(1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数.(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.(3)这个命题是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形..[例8]分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：（1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除.（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形.[解题思路]：在由简单命题写出复合命题时，本例的（1）、（2）可直接使用逻辑联结记词，而（3）中的“p或q”“p且q”“非p”，写复合命题时，关键要搞清“且”“或”“非”的意义.解析：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.非p：连续的三个整数的乘积不能被2整除.∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.非p：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.点拨要理解逻辑联结词“且”、“或”和“非”的含义，“且”是指必须两个都选，“或”是指两个中至少选一个，“非”是