自动控制原理―非线性控制系统

第九章非线性控制系统第一节非线性系统述第二节描述函数法第三节相平面法第一节非线性系统概述1.何谓线性系统？–静态特性：输入和输出成比例–动态特性：可应用叠加原理–y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)–y=f(kx)=kf(x)2.何谓非线性系统？–静态特性：输入和输出不成比例–动态特性：不可应用叠加原理xyxytAtytytytysin)()(1))(()(323.线性系统与非线性系统的关系实际系统总含非线性环节，所以是非线性系统。但在小信号范围内可线性化为线性系统来分析。4.非线性系统的特征(1)输出响应与输入信号大小和系统初态有关4.非线性系统的特征(2)系统稳定性与输入信号大小和系统初态有关(3)会产生自激振荡4.非线性系统的特征(4)可能产生跳跃谐振(5)会产生波形畸变振幅非线性系统频率5.典型非线性元件及对系统性能的影响(1)饱和特性Kx|x|ay=Kaxa-Kax-a在饱和区，增益减小，振荡减弱，稳态误差增大。在线性区发散振荡的系统，到饱和区将转为等幅振荡。(2)死区特性数学表达式0|x|ay=K(x-asignx)|x|asignx=1x0-1x0xy5.典型非线性元件及对系统性能的影响特性曲线对系统性能的影响•直接造成稳态误差•会使振荡减弱，因处于死区时，相当于信号断开。•滤去小幅干扰，提高系统抗干扰能力。•跟踪斜坡信号时有时间滞后。xyaK5.典型非线性元件及对系统性能的影响(3)滞环特性K(x-asignx)|x|0y=不变x=0xy对系统性能的影响•增大稳态误差•使波形失真•稳定裕量减小，振荡加剧,动态特性变坏5.典型非线性元件及对系统性能的影响(4)继电特性ymx0+y=-ymx0-xy对系统性能的影响•增大稳态误差•造成自振荡•稳定性减弱ym-ym6.非线性控制系统的分析方法以上为粗略定性分析.由于非线性系统建模困难,解方程更难,所以至今没有精确和统一的分析方法.下面介绍的三种常用方法也不完善的.(1)描述函数法用一次谐波代替非正弦波,只是近似分析适用于周期信号,不适用非周期信号(2)相平面法用相平面图研究非线性系统的动态特性,只适用于二阶系统.(3)李雅普诺夫第二方法(直接法)用李雅普诺夫函数V(x)来研究,但V(x)难确定.第二节描述函数法本节内容–1。描述函数定义–2。典型非线性元件的描述函数–3。用描述函数法研究非线性系统描述函数法是线性系统理论中频率法在非线性系统中的应用。主要用来分析非线性系统的稳定性及正弦输入下的输出特性。适用于任意阶非线性系统。1.非线性系统的描述函数定义系统框图假设条件(1)正弦输入x1(t)=Asint(2)非储能元件无动态特性,无惯性,不是时间的函数(3)特性斜对称f(-x1)=-f(x1)(4)其线性部分具有较好的低通滤波性能Nx1x2x2x11.非线性系统的描述函数定义描述函数推导输入：x1(t)=Asint稳态输出（付立叶级数表示）：分析：因斜对称性A0=0据付立叶分析0202)(sin)(2)(cos)(2ttdktxBttdktxAkk1.非线性系统的描述函数定义分析：因低通滤斜波特性，k1,Ak=Bk=0于是有111121211BAtgBAC用正弦量的矢量表示法有X1(A,)=AX2(A,)=C1ej11.非线性系统的描述函数定义描述函数定义式：由于假设非线性系统是非储能元件,所以可只考虑A,不顾,于是N(A,)=N(A)描述函数定义陈述：非线性系统的描述函数为输出基波分量与输入信号之比2.典型非线性元件的描述函数(1)饱和特性的描述函数法x1x2x2x1-aaK--tt2.典型非线性元件的描述函数(1)饱和特性的描述函数法当Aa,x2(t)=KAsint,N(A)=X2(A)/X1(A)=K当Aa,KAsint0tx2(t)=Kat-KAsint-t∵Asin=a∴=sin-1(a/A)021021)(sin)(20)(cos)(2ttdtxBttdtxA2.典型非线性元件的描述函数(1)饱和特性的描述函数法01])(1[sin2)()(sin2)(sin2)()(sin2112121212021BBACAaAaAaKAtdtKAttdKatdtKAB2.典型非线性元件的描述函数(1)饱和特性的描述函数])(1sin2[221AaAaAaKKN(A)=AaAa(2)死区特性的描述函数])(1sin[221AaAaAaK0N(A)=AaAa2.典型非线性元件的描述函数(3)滞环特性的描述函数]21221sin2[4][421121AaAaAaAaKABAaAaKAA0N(A)=AaAa1112121BAjtgeABA3.用描述函数法研究非线性控制系统(1)非线性控制系统(2)闭环频率特性(3)闭环特征方程N(A)G0(s)RY)()(1)()()()()(00jGANjGANjRjYjG0)()(10jGAN3.用描述函数法研究非线性控制系统(4)稳定性分析当G(j)=-1/N(A)时,产生临界振荡.线性系统的临界点为(-1,j0),而在非线性系统中有一条临界曲线为-1/N(A).Ⅰ)稳定系统相角裕量幅值裕量20lg(oN/oG)-1N(A)A0G0(j)oNGImRe3.用描述函数法研究非线性控制系统(4)稳定性分析Ⅱ)不稳定系统-1N(A)G0(j)oImReⅢ)自激振荡-1N(A)G0(j)oImRe(A0,0)注：并非所有的交点都产生自振荡3.用描述函数法研究非线性控制系统(4)稳定性分析Ⅳ)稳定自振荡的确定-1N(A)G0(j)oImReImA132654取点1，2，3，4，5，6，分析：13不稳A6412稳A746不稳A445稳A4结论：4点为稳定的自振荡点1点为不稳定的自振荡点推论：由右向左穿越G0(j)线的点是稳定的自振荡点73.用描述函数法研究非线性控制系统例9.1设非线性元件具有滞环继电特性(a/x2m=0.5),试分析系统稳定性,并判断是否存在稳定的自振荡.R(s)Y(s)-a-ax2m320s(s+4)(s+8)3.用描述函数法研究非线性控制系统解:查非线性元件描述函数表知具有滞环继电特性(a/x2m=0.5)的描述函数为4)(1sin4)(212jmjmexAANAaaAeAxAN3.用描述函数法研究非线性控制系统解:(续)8444)sincos(422222222jaAxxajaAxjxAmmmm可见-1/N(A)轨迹为一条与实轴平行的直线而G0(j)为3.用描述函数法研究非线性控制系统解:(续)))(64(16)320(32))(64(163840-8)4)((320)(222220jjjjjGG0(j)与-1/N(A)相交于P点,经分析P点为稳定的自振点.令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振角频率p=4.2rad/s.令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振点输入信号幅值Ap=3.7a或1.85x2m3.用描述函数法研究非线性控制系统-1N(A)G0(j)oImRe-1.0354P•••第三节相平面法本节内容–1。基本概念–2。相平面图的绘制–3。由相平面图求系统的过渡过程–4。奇点和极限环1.基本概念非线性系统的相平面分析法是状态空间分析法在二维空间下的应用，它是一种用图解法求解二阶非线性控制系统的精确方法。它不仅能给出系统的稳定性和动态性能信息，还能给出系统运行轨迹的清晰图象。二阶系统的微分方程表达0),(),(0122xdtdxxadtdxdtdxxadtxda1，a0为常数时表达线性定常系统。a1，a0不为常数时表达非线性系统。1.基本概念二阶系统的状态方程表达令x1=x，x2=x1,有.211022111210221),(),(xaxaxxxaxxxaxxx相平面(状态平面,x--x平面).相平面图(相轨迹构成的图)相平面法:相平面图的绘制和分析特点:只限于二阶线性或非线性系统可用于严重非线性场合(描述函数不够用)可用于非周期信号输入x1x22.相平面图的绘制.常用三种方法:解析法,等倾线法,法.1)解析法当系统微分方程较简单时,可推导出相轨迹方程,据相轨迹方程可绘制相平面图.例如:0)(cFysignkyym经积分推导可得相轨迹方程2c222mFr)(1nnnmkCryy为一圆方程,据此可绘制相轨迹.yn.y2.相平面图的绘制2)等倾线法不用求解微分方程，适用于非线性特性可用数学式表达的系统.设xxxxaxxaxxdxxdxdtdxxxxaxxxaxdtxdxxxaxxxax),(),(),(),(0),(),(0101012.相平面图的绘制对于除平衡点的任一点，和为确定值。在平衡点，=0为不定值。速度和加速度均为零，无穷多组斜率的曲线可通过该点。所以可设),(xx),(1xxa),(0xxaxxdxxd常数dxxd表示相轨迹的斜率。表示斜率相等。常数xxxxaxxa),(),(01被称为等倾线方程dxxd2.相平面图的绘制等倾线方程是一个代数方程，易解。根据等倾线方程可的等倾线分布图，根据这个图可以绘出从初始状态|t=0出发的相轨迹曲线。例9。2试用等倾线法绘制二阶线性系统的相平面图。解：),(xx022xxxnn10.5,112222nnnnnxxxxxx2.相平面图的绘制根据等倾线方程令为若干具体数值，可得等倾线簇。当初始点A已定，则根据两等倾线间的平均斜率值可确定AB线段，进而可确定BC，CD，…。=-1=-1.4=-2.5=2=-(1.4+1)/2=-1.2=-0.4=-1xx.ABC2.相平面图的绘制例9。3试用等倾线法绘制二阶非线性系统的相平面图。解：0.2)(11)(10)(1222xxxxxxxxxxxx.2.相平面图的绘制3)法当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这时用法更好。在法中，相轨迹是圆心沿x轴滑动的一系列圆弧的连续线。设，要求单值并连续。变形为令选使值在选定小x，x范围内，不大不小，可看作常量。当在P1(x1,x1)点附近,),(xxfxxxxfxx22),(22),(),(xxxfxx..2.相平面图的绘制C为积分常数,可求得Cxxdxxxdxxxdxxdxx2122121212)(221)()(0)(两边积分可得或])([21211221xxC2.相平面图的绘制这是一个圆方程,圆心在(1,0),半径为221121212211212212)()()(2)(xxxxxxCxx进而可推得21121)(xx2.相平面图的绘制以x为横轴,以x/为纵轴,P1点附近的相轨迹可用小段圆弧表示.为得到1可用逐次逼近法..xx/.P1(1,0)例9.4已知0(0)1