第2章静电场分析2010

第2章静电场分析•2．1静电场的基本规律•2．2静电场的边条件•2．3泊松方程和拉普拉斯方程•2．4唯一性定理•2．5导体系统的电容•2．6静电场的能量与力•2．7恒定电场（恒定电流场）•2．8静电场的应用2．1静电场的基本规律当电荷在某一空间体积内连续分布时，用体电荷密度来描述电荷在空间的分布特性，体电荷密度定义为空间某点处单位体积中的电荷量，即0lim2.1VqVr2．1．1电荷与电荷分布电荷是产生静电场的源,根据电荷分布区域的具体情况，可以用体电荷密度(电荷可以连续地分布在一个体积中，)、面电荷密度(可以连续地分布在一个面上，)和线电荷密度(或连续地分布在一条线上。)来描述电荷在空间体积、曲面和曲线中的分布。当然，电荷也可以集中在空间某点上。如图所示。电荷的分布用电荷密度来描述。l1．体电荷密度rrSrlr•可以将电荷在一个极薄的薄层空间中的连续分布视为面电荷分布，例如电荷在导体表面和电介质表面的分布。用面电荷密度来描述面电荷的分布特性，面电荷密度定义为某点处单位面积上的电荷量，即•的单位是C/m2。是一个空间位置的连续函数，0lim2.3SSqSrSrSr2.2VqdVr2．面电荷密度Sr•的单位是C/m3。是一个空间位置的连续函数，描述了电荷在空间的分布情况，构成一个标量场。若在电荷分布的空间内任取一个微小体积，则该体积元的电荷量为rrV()qrV,通过体积分可以求出某个体积V中总的电量0lim2.5llqlrlr2.6lqdlr的单位是C/m，通过线积分可以求出某段曲线l上总的电量•3．线电荷密度•将电荷在半径极小的管形空间中的分布视为线电荷分布。用线电荷密度来描述线电荷的分布特性，线电荷密度定义为某点处单位长度上的电荷量，即lr2.4SSqdSr•描述了电荷在某一曲面上的分布情况，构成一个标量场。利用通过面积分可以求出某个曲面S上总的电量Srldz直线上线元电荷量曲面上面元电荷量SdSr02.9qrrrrrr=r02.10VVVQdVqdVqV不在内在内rrrrr可以用δ函数表示点电荷的体电荷密度对于点电荷，空间任意体积V中总的电量Q可以由下式给出•4．点电荷与点电荷的δ函数表示法•点电荷是电磁场理论中的一个理想模型，点电荷的电量为q，占据的体积为趋近于零的一个几何点。显然，点电荷所在处的体电荷密度趋近于无穷大。为了定量地描述点电荷的分布，定义δ函数02.702.8VVdVV不在内1在内rrrrr=rrrrr2．1．2场强和电位Φ02.11qFrEr2.12QPdrEl电场强度是一个矢量，在空间构成一个矢量场，所以可以用研究矢量场的方法研究静电场，例如利用电力线、高斯定理、环路定理、矢量场的散度、矢量场的旋度等。空间某点电位的定义为Er电场强度和电位Φ是研究静电场最基本的两个物理量。空间某点处的电场强度定义为单位正的试探电荷在该点受的电场力E其中P是待求电位的场点，Q是电位的参考点。•电位参考点的选择：1）选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。2）电荷在有限区域，无穷远点为参考点。3）电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点。4）同一物理问题，参考点应该统一。一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。QPdrEl2.14Err和Φ之间满足以下关系式E•电位是一个标量，在空间构成一个标量场，所以也可以用研究标量场的方法研究静电场，例如利用等位面、电位梯度、泊松方程、拉普拉斯方程等。•两点之间的电位差称为电压，可以写为r2121212.13QQPPPPPPdddElEl=El•5）场中任意两点的电位差与参考点无关。结论：两点的电位差只与两点所在位置有关，而与积分路径无关。2．1．3静电场的基本方程12.1502.16iSildqdESEl=iiq02.1702.18iSildqdDSEl=0iiq其中有电介质时，静电场的基本方程可以写为其中是S面内包围的所有自由电荷。是S面内包围的所有电荷（包括自由电荷和极化电荷）。•静电场的基本方程包括高斯定理和环路定理立体角22.19dSdR2244RR如图2.1所示，立体角的单位是球面度。整个球面对球心的立体角图2.1球面上的面元对球心的立体角球面度。在一个半径为R的球面上任取一个面元dS，此面元边上各点与球心的连线构成一个该面元对球心的立体角为了证明（2.17）式，先介绍有关立体角的概念。02.17iSidqDS22cos2.20RddSdRRSe图2.2任一面元对一点的立体角•以O点为球心，以O点到dS的距离R为半径作一个球面，为dS在球面上的投影，则RdSe如图2.2所示。为了计算不在球面上的任一面元dS对一点（O点）的立体角一个任意形状的闭合曲面对一点O所张立体角，如果O点在闭合曲面内，可以以O点为球心，在闭合曲面内作一个球面，如图2.3（a）所示，可以看出该闭合曲面对O点所张的立体角和球面对O点的立体角是相等的，即为4π球面度。如果O点位于闭合曲面之外，如图2.3（b）所示。从O点向闭合曲面作切线，所有的切点构成的曲线把闭合曲面分成两部分：S1面和S2面，S1面对O点的立体角是Ω1，是负值；S2面对O点的立体角是Ω2，与Ω1等量异号，所以整个闭合曲面对O点所张的立体角图2.3闭合面的立体角(a)O点在闭合曲面内(b)O点位于闭合曲面外o120证明高斯定理（2.17）式00222.2144RSSSRqqdddRRSDSSee2RdReS0000Sqqdq在闭合曲面内在闭合曲面外DS上式中是面元dS对点电荷q0所张的立体角dΩ，对闭合（2.22）曲面积分就是闭合曲面对电荷q0所张的立体角。若电荷q0在闭合面内，则该立体角为4π，若电荷q在闭合面之外，则该立体角为零。因此（2.21）式可以写为先研究无界真空中只有一个点电荷的情况02.17iSidqDS0204RqRE=e0D=E22cos2.20RddSdRRSe121201020012.23kNSSkNSSSSkkiiddddddqqqqDSDDDDSDSDSDSDS如果无界真空中有N个点电荷q01，q02，…，q0k，…，q0N，而闭合曲面内包围的点电荷为q01，q02，…q0k，则穿过闭合面S的电位移通量为尽管空间各点的Di与产生它的所有场源点电荷有关，但（2.23）式表明穿过闭合曲面S的电位移通量仅与闭合曲面S内场源电荷的代数和有关。SdDS01kiiqN个点电荷,产生N个D,闭合曲面内只包围k个点电荷由（2.22）式00000Sqqdq在闭合曲面内在闭合曲面外DS（2.22）02.24SVVddVdVDSD02.25D=（2.25）式表明，电位移矢量D在某点的空间变化率等于该点的电荷体密度ρ0。（2.23）式可推广到体电荷、面电荷和线电荷的情况。电荷以体密度ρ分布时，（2.23）式的右边变成积分，利用散度定理，（2.23）式可以写为01kiiq0VdV因为S是任意的闭合曲面，高斯定理的微分形式为高斯定律的积分形式高斯定律的微分形式穿过任何闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷。010=2.23kiSiVdqdVDS220044BARRllRdqqdRdRRelEl0112.264ABqRR图2.4E沿曲线的积分•当积分路径是闭合回路，即A、B两点重合时，可得02.27ldEl下面证明（2.18）式。在点电荷q的电场中任取一条曲线连接A、B两点，如图2.4所示。求场变量E（r）沿此曲线的积分02.18ldEl=投影0ldEl即当电荷q在电场中移动一周回到出发点时，电场力作的功为零，电场能量不变，这说明静电场是保守场。利用斯托克斯定理可以写出（2.27）式的微分形式上式（2.27）是从点电荷的电场中得到的结论，很容易推广到任意电荷分布的电场中，所以（2.27）式表示了静电场的一个共同特性。以电场力作功为例，当一试验电荷q在电场中沿闭合回路移动一周时，电场力所作的功为,0llqdqdElEl02.28E（2.25）式和（2.28）式给定了静电场的散度和旋度，根据亥姆霍兹定理，静电场的性质是完全确定的。02.25D=()1.71LsddAlAS矢量场由其散度和旋度唯一确定0ldEl2.1.4场强和电位Φ的计算电荷连续分布的场强：21()()2.314RdqRrEre•1．方法1•第一步：利用点电荷场强公式和场强的迭加原理求E•点电荷的场强：201()()2.294RqRrEre210()1()2.304iniiRiiqRrEre电荷连续分布包括线分布、面分布和体分布，2.32ldqdlrr2.33SdqdSrr2.34dqdVrr点电荷组的场强：对于线电荷分布对于面电荷分布对于体电荷分布例题2.1真空中有一电偶极子,如图2.5所示,电偶极子是由一对点电荷组成,一个是正电荷,另一个是负电荷，其中P是待求电位的场点，Q是电位的参考点。如果电荷分布在有限区域内，一般取无穷远处作参考点，如果电荷不是分布在有限区域内，需要根据具体情况选择参考点。1qq2qq230001()4412.364RqqRRqRREre图2.5解：选用球坐标系，点电荷的场强为正负点电荷之间的距离非常小，是一段微分线元l，试求电偶极子在远处产生的场强。2.35QPdrEl第二步：32112RRRRReR其中。利用幂级数展开式011()2.374qrrEr1/2222cos,rrlrllr21/2113111281xxxx＜≤上面的推导中利用了（1.101）式。电偶极子在p点产生的场强为32111.101RRRRReR可以写出定义为电偶极子的电矩矢量，的方向规定为由－q指向q。（2.38）式可以写为qpll3330001cossin()2.39424rpprrrprEree把上式代入（2.37）式可得1/21/221111cos12cos2cos1lrrrlrrlrr233000coscossin()2.38424rqlqlqlrrrEreecoslrpr=qlr=q例题2.2图2.6例题2.2•解：采用圆柱坐标，使线电荷与z轴重合，原点位于线电荷的中点。电荷及电场的分布具有轴对称性，可以只在φ为常数的平面内计算电场的分布。直线上线元电荷在P点产生的场强为真空中长度为l的直线上的线电荷密度为ρl，如图2.6所示，求此线电荷周围的电场。ldz230011()2.4044llrRdzdzdRRReEre201()()2.294RqR