第八章 空间解析几何与向量代数(同济六版)

第八章空间解析几何与向量代数目录上页下页返回结束向量代数平面与直线空间曲线与曲面：曲线与曲面表示法向量向量运算：加减法，数量积，向量积向量空间直角坐标系平面——法向量直线——方向向量距离，夹角目录上页下页返回结束§1向量及其线性运算§2数量积，向量积§3平面及其方程§4空间直线及其方程§5曲面及其方程§6空间曲线及其方程目录上页下页返回结束第一次课四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影§1向量及其线性运算2.向量的大小(模):1.向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量4.单位向量:3.零向量:一、向量的概念||||ABaAaBABa方向任意.00||1||a记为o,aore5.平行向量:方向相同,或相反.//ab(零向量与任何向量平行)6.相等向量:大小相等,方向相同.目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加减法三角形法则:(1)加法：平行四边形法则：(3)加法满足交换律，结合律见P2.(2)三角形法则可推广到多个向量相加.baab(4)减法：()ababbaabbaab(5)三角不等式||||||||||ababab目录上页下页返回结束2.向量与数的乘法：(1)定义：向量与数λ的乘法记为,aa||||||aa0aa时，与同向，0aa时，与反向，00a时，(2)向量与数的乘法满足结合律,分配律.见P4.(3)0a则00a若，则；00.a若，则(4)定理1.1：设0,a则1//,.abRba使得目录上页下页返回结束o.||aeaa(5)与同向的单位向量为：a【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是ABCDM1a2b2a1b11ABab，22DCab解:如图M为四边形ABCD对角线的交点,则由已知1212,aabbABDC所以所以ABCD为平行四边形.目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系•坐标原点•坐标轴(横轴)(纵轴)(竖轴)o•坐标面•卦限(八个)面xoy面yozⅠ1.空间直角坐标系(右手系)目录上页下页返回结束xyzo向径在直角坐标系下11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:),,(zyx11)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC原点O(0,0,0);rrM(称为点M的坐标)目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:xyzo目录上页下页返回结束2.向量的坐标表示(1)设点M(x,y,z),则xoyzMNBCijkAr,,ijk分别表示坐标轴x,y,z上的单位向量OMONNMOAOBOCxiyjzk(,,)xyz记为目录上页下页返回结束四、利用坐标作向量的线性运算1.设λ为实数，则(,,),xyzaaaa(,,),xyzbbbb(,,)xxyyzzabababab(,,)xyzaaaa目录上页下页返回结束111222(,,),(,,)AxyzBxyz2.已知两点则ABOBOA222111(,,)(,,)xyzxyz212121(,,)xxyyzz3.平行向量对应坐标成比例:0,a当时baba(,,)(,,)xyzxyzbbbaaayzxxyzbbbaaa【例2】P8例2目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束111222(,,),(,,)AxyzBxyz【例3】已知两点及实数λ≠-1在直线AB上求一点M,使.AMMB解:设M的坐标为如图所示ABMoMAB(,,),xyzAMOMOAMBOBOM()OMOAOBOM由已知.AMMB11(OMOAOB12121211(,,)(,,)xyzxxyyzz由得定比分点公式:当λ=1时，点M为AB的中点,于是得中点公式:12121211(,,)(,,)xyzxxyyzz121212111,,xxyyzzxyz121212222,,xxyyzzxyz目录上页下页返回结束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模:设则由勾股定理得有xoyzMNQRP(,,),OMxyz设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则212121(,,)ABxxyyzz222212121||()()()ABxxyyzz222OMOPOQOR2.两点间的距离公式222xyz【例】P10例4,5,6目录上页下页返回结束oyzx3.方向角与方向余弦r(1)夹角:(,)AOBab(2)方向角:向量与三坐标轴的夹角222OMrxyzMcos||xrcos||yrcos||zr0(),,称为方向角(,,)||(cos,cos,cos)OMxyzro(cos,cos,cos)OM2221coscoscos,,的方向余弦(3)方向余弦：目录上页下页返回结束【例4】P11例8方法2:设34xyzOA(,,)OAxyz则由3cos||xOA1632x4cos||yOA26322y2226||OAxyz3z3323(,,)A目录上页下页返回结束4.向量在轴上的投影(1)定义:过M作平面uuOMM交轴于uM设轴上的单位向量为ue则,OMeλ称为OM在上的投影,记为urjuOMPr()uorr注：投影λ是一个数，OMe当与同向时为正,反向时为负.目录上页下页返回结束e(2)向量在轴上的投影xyzOMABC(,,)OMxyz则()xxOAOM()yyOBOM()zzOCOM(3)投影的性质1).()||cosuaOAa2).()()()uuuabab3).()()uuaaOAuabB目录上页下页返回结束【作业】P12Ex8-14,5,11,12,14,17,19目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束第二次课§2数量积,向量积一、数量积1).()||cosbaa,ab的数量积等于两向量的长度与它们夹1.De2.1:角的余弦的乘积,记为ab即:||||cos,ababab(,)ab2.由投影性质:()ba()ab||()babba2).()||cosabb||()aabab目录上页下页返回结束3.性质21()||aaa20()ab||||cosababab两两之间的数量积4.,,ijkiijjkk1110000005.运算规律见P14-15【例5】P15例1ijk目录上页下页返回结束6.数量积的坐标表示法设111222(,,),(,,)axyzbxyz特别：则111222()()abxiyjzkxiyjzk121212xxiixyijxzik121212yxjiyyjjyzjk121212zxkizykjzzkk121212xxyyzz222123aaxxx2||a目录上页下页返回结束112233abxyxyxy5.向量夹角余弦的坐标表达式,ij||||cosabcos||||abab121212||||xxyyzzab【例6】P16例2目录上页下页返回结束【例7】试在所确定的平面内找一个与垂直的a,ab解：由于ab∥ab,故与确定一个平面设单位向量,其中c211131(,,),(,,).abcab211131(,,)(,,)23(,,)ca221310()()()620取λ=1，则μ=3582(,,)c故所求的单位向量158293(,,)||ccc目录上页下页返回结束二、向量积,ab的向量积是满足下列条件的一个向量，1.De2.2:2.性质:ab记为,ab1()ab与都垂直；2()||||||sin(,)ababab3(),,abab构成右手系∥1()ab2()aorb0ab有一个为零向量0ababab目录上页下页返回结束||||||sinabab两两之间的数量积3.,,ijkiijjkk4.运算规律ijkkjkiji1()()abba2()()()()ababab3()()abcabac000目录上页下页返回结束5.向量积的坐标表示法设则122121121221()()()yzyzixzxzjxyxyk111222(,,),(,,)axyzbxyz121212()()()xxiixyijxzik121212()()()yxjiyyjjyzjk121212()()()zxkizykjzzkk111222()()abxiyjzkxiyjzk0kjjik0i0目录上页下页返回结束122121121221()()()yzyzixzxzjxyxyk111111222222yzxzxyijkyzxzxy111222ijkxyzxyz目录上页下页返回结束解：可取【例8】求与都垂直的单位向量,其中,abc101231(,,),(,,).ab故所求的单位向量11113(,,)||ccccab101231ijk011110312123ijk333ijk【例9】P19例5【作业】P22Ex8-21,3,6,7,8目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束第三次课§3平面及其方程一、点法式平面方程给出平面Π上一点P0(x0,y0,z0)及垂直于1.引例1:平面Π的一个向量(,,)nABC的法向量),求平面Π的方程.(称为Π0PPn解：设P(x,y,z)为Π上任意一点，则0000(,,)PPxxyyzz由题意有0PPn00PPn0000(,,)(,,)ABCxxyyzz0000()()()AxxByyCzz目录上页下页返回结束已知点(x0,y0,z0)∈Π,(A,B,C)⊥Π,则2.点法式平面方程0000()()()AxxByyCzz【例】P38例1【例10】P38例2点法式方程Π：目录上页下页返回结束平面一般方程Π:二.平面的一般方程将点法式方程进行化简并合并同类项,得0AxByCzD说明:①D=0,Π过原点；②A=0,Π平行于x轴；③B=0,Π平行于y轴；④C=0,Π平行于z轴；对于④0AxByD法向量⊥z轴,⊥z轴上的所有向量.nxz0y【例11】P40例3目录上页下页返回结束三.截距式平面方程设Π与x,y,z轴的截距分别为a,b,c,即:1.引例2:P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),xz0yP(a,0,0)R(0,0,c)Q(0,b,0)解:设Π:1yzxabc将P,Q,R代入得000AaDBbDCcD,DAa求平面Π的方程.∴截距式平面方程Π:0AxByCzD,DBbDCc目录上页下页返回结束【例11】求过点解：211(,,)aP1(1,0,-1),P2(-2,1,3)且与向量平行的平面方程Π.12213101(,,)(,,)PP314(,,)1P2Pana12nPPa314211ijk511ijk51110110()()()xyz又过点P1(1,0,1)，所以Π：51140xyz即：目录上页下页返回结束三.两平面的夹角：(两平面法向量的夹角)