第2章 地球体与地图投影

第2章地图的数学基础1.地球体2.大地测量系统3.地图投影4.地图比例尺§1地球体一．地球体的基本特征1.地球体的量度2.地球体的物理表面3.地球体的数学表面二．地理坐标1.天文经纬度2.大地经纬度3.地心经纬度一．地球体的基本特征1.地球体的量度春秋时期：天圆地方说——盖天说好汉时期：张衡的浑天说——大地是球体古希腊：托勒密的地心说——大地是球形体古希腊：亚里士多德——地球是圆的古希腊：埃拉托色尼第一次应用弧度测量估算地球大小唐朝：张遂最早一次对地球大小实测公元827年：阿尔曼德进行弧度测量§1地球体一．地球体的基本特征1.地球体的量度牛顿：地球是一个椭球体清康熙：《皇舆全览图》论证地球是椭球1735年：法国测量队论证了地球是椭球的学说地球是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。§1地球体§1地球体一．地球体的基本特征1.地球体的量度一．地球体的基本特征测量工作是在地球的自然表面上进行的，而地球的自然表面是一个起伏不平、十分不规则的表面。这样的话，对于地球测量而言，地表是一个无法用数学公式表达的曲面，这样的曲面不能作为测量和制图的基准面。需寻求一种与地球的自然表面非常接近的规则曲面来代替地球的自然表面（？）。§1地球体一．地球体的基本特征2.地球体的物理表面地球空间任一质点，都受到地球引力和自传产生离心力的影响，这两种力的作用形成合力，即地球重力。但地球的质量不均衡，重力的方向既不平行也不指向质心。和重力方向线相垂直的，形成无数个曲面，每个曲面上重力位相等。把重力位相等的面称为重力等位面，即水准面。两个极邻近的水准面既不相交、也不平行。§1地球体一．地球体的基本特征2.地球体的物理表面在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。大地水准面实际上是一个起伏不平的重力等位面，是逼近于地球本身形状的一个形体，称大地体，即地球物理表面。§1地球体一．地球体的基本特征2.地球体的物理表面由略微不规则的大地水准面包围的大地体，是地球形状的极近似。由于大地水准面包围的大地体表面存在一定的起伏波动，对大地测量学或地球物理学可应用重力场理论研究。由于大地水准面是实际重力等位面，故有可能通过测量仪器，获得相对于似大地水准面的高程。§1地球体一．地球体的基本特征由于受地球内部物质密度分布不均匀等多种因素的影响而产生重力异常，致使铅垂线的方向发生不规则变化，故处处与铅垂线方向垂直的大地水准面仍然是一个不规则、不能用数学公式表达的曲面。若地球表面投影到这个不规则的曲面上，将无法进行测量计算工作。必须寻求一个与大地体极其接近的、能用数学模型定义和表达的形体来代替大地体。§1地球体一．地球体的基本特征3.地球体的数学表面在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。§1地球体它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。一．地球体的基本特征3.地球体的数学表面§1地球体椭球体三要素:长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137mb=6356752.3ma-b6378137-6356752.3f=——=————————a63781371—=298.257f一．地球体的基本特征3.地球体的数学表面地球椭球体需要4个条件才能达到和大地体最密合：地球椭球体中心和地球的质心重合；地球椭球体的短轴和地球的地轴重合；地球椭球体起始大地子午面和起始天文子午面重合；在确定参数a、α时，要满足在全球范围的大地水准面差距的平方和最小。§1地球体一．地球体的基本特征3.地球体的数学表面§1地球体二．地理坐标北极、南极、赤道、本初子午线地理坐标就是用经线、纬线、经度、纬度表示地面点位的球面坐标。天文经纬度、大地经纬度、地心经纬度§1地球体二．地理坐标1.天文经纬度以铅垂线为依据建立天文纬度ψ：观测点的铅垂线方向与赤道平面间的夹角天文经度λ：观测点子午面与本初子午面间的两面角§1地球体二．地理坐标2.大地经纬度地面点在参考椭球面上大地经度λ：参考椭球面上观测点的大地子午面与本初子午面间的两面角大地纬度ψ：参考椭球面上观测点的法线与赤道面间的夹角§1地球体二．地理坐标2.大地经纬度§1地球体二．地理坐标3.地心经纬度地心经纬度是随地球一起转动的非惯性坐标系统，根据其原点位置不同，分地心坐标系统和参心坐标系统。前者的原点与地球的中心重合，后者的原点与参考椭球中心重合。地心经度等同大地经度，地心纬度是指参考椭球面上观测点和椭球质心或中心连线与赤道面间的夹角。§1地球体二．地理坐标§1地球体在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。§2大地测量系统一．我国的大地坐标系统二．大地控制网1.平面控制网2.高程控制网三．全球定位系统一．我国的大地坐标系统1980年前：BJ54-克拉索夫斯基椭球体。克拉索夫斯基椭球体与国际大地测量协会推荐椭球体长轴长105m。克拉索夫斯基椭球体相对于大地水准面，自西向东有较大的倾斜。在处理重力场测量数据中所常用的计算公式，也与克拉索夫斯基椭球体不匹配。1980年：西安80-1975年国际大地测量协会推荐椭球体陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。§2大地测量系统二．大地控制网1.平面控制网§2大地测量系统二．大地控制网1.平面控制网三角测量：以大地原点为基础，在地面上选择一系列控制点，建立起一系列相连接的三角形，组成三角锁和三角网。§2大地测量系统二．大地控制网1.平面控制网三角测量由国家测绘主管部门统一布设了一、二、三、四等三角网。等级边长分布密度分布方向一等三角锁20~25km锁与锁间距200km沿经纬线分布二等三角网13km150km2有一控制点（1：10万，1：5万》3点）在一等加密三等三角网8km50km2有一控制点（1：5万2~3点）在二等加密四等三角网4km20km2有一控制点（1：1万~2点）在三等加密§2大地测量系统二．大地控制网1.平面控制网导线测量：把各个控制点连接成连续的折线，然后测定折线的边长和水平角，最后根据起算点的坐标和方位角推算其他各点坐标。闭合导线：从一个高等级控制点出发开始测量，最后再回到这个控制点，形成一个闭合多边形。附合导线：从一个高等级控制点开始测量，最后连接到另一个高等级控制点上。§2大地测量系统二．大地控制网2.高程控制网绝对高程（海拔）：地面点到大地水准面的垂直距离。相对高程：地面点到任一水准面的垂直距离。高差：某两点的高程之差。§2大地测量系统二．大地控制网2.高程控制网中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点（72.289m)，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》上升29毫米。（72.260m)。§2大地测量系统青岛观象山水准原点二．大地控制网2.高程控制网§2大地测量系统高程控制网是在全国范围内精确测定高程的地面点所组成的，是全国测定其他所有地面点高程的控制基础。二．大地控制网2.高程控制网建立高程控制网的方法，主要由水准测量来完成。水准测量方法是借助仪器所提供的水平视线来测定两点间的高差。三角高程测量是根据三角形原理求两点间高差。§2大地测量系统三．全球定位系统定位：测量某一目标或信息在什么时间、什么空间位置的理论方法和技术。卫星导航定位技术的优势：观测点间无需通视，因而不想建标，但观测点上空必须开阔；提供3维坐标，在测定平面位置的同时测定观测点的大地高程；定位精度高；观测时间短；全天候作业，一般不受天气状况的影响；操作简便，仪器体积小，携带方便。§2大地测量系统三．全球定位系统美国俄罗斯伽利略我国§2大地测量系统三．全球定位系统空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。§2大地测量系统三．全球定位系统地面控制部分：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。§2大地测量系统三．全球定位系统用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。§2大地测量系统地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。§3地图投影一．地图投影的概念二．地图投影的变形三．地图投影的分类四．投影计算举例五．地图投影的选择六．地图投影的变换§3地图投影一．地图投影的概念投影：数学上的含义是两个面（平面或曲面）上点与点（或线与线）的对应关系；在一个面上的点，另一个面上只有唯一的点与之对应。地图投影：按照一定数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面点位的地理坐标与地图上相对应点位的平面直角坐标或平面极坐标间，建立起一一对应的函数关系。§3地图投影一．地图投影的概念球面是个不可展的曲面，要把球面用机械方法直接展成平面，必然要发生断裂、褶皱或拉伸等无规律的变形。§3地图投影一．地图投影的概念如何解决球面——平面的问题？透视法该方法产生实用的地图投影种类有限。§3地图投影一．地图投影的概念解析法：地球表面的点位以地理坐标表示（纬度为ψ、经度为λ），投影到平面上的点位以直角坐标表示（x、y），按投影的定义，地图投影的一般方程式为：§3地图投影x=f1(φ,λ)y=f2(φ,λ)二．地图投影的变形1.投影变形的性质2.变形椭圆3.长度比4.角度比5.面积比§3地图投影二．地图投影的变形1.投影变形的性质球面经纬线长度特征：各纬线长度不等，赤道最长，纬度越高其长度越短，到两极点为零；同一条纬线上，经差相同的纬度弧长相等；所有的经线长度相等；在同一条经线上，纬差相同的经线弧长相差不大。球面梯形面积特征：同一纬度带内经差相同的球面梯形面积相等；同一经度带内纬度越高球面梯形面积越小。经线为纬线的相交关系：经线与纬线处处都呈直角。§3地图投影二．地图投影的变形1.投影变形的性质§3地图投影二．地图投影的变形1.投影变形的性质地图投影解决了由球面到平面的转换，但并不能保持平面和球面之间在长度（距离）、角度（形状）、面积等方面的完全不变。具体应用过程中，根据具体的用图目的、区域的范围和内容的特点等，在长度、角度、面积几种变形中，选择一个令其不变形，或者虽有各种变形，但设法使其变形减少到限差之内。§3地图投影二．地图投影的变形2.变形椭圆地球上一个无穷小的圆——微分圆（也称为单位圆），在投影后一般地成为一个微分