统计学第六版贾俊平第6章

第6章统计量及其抽样分布统计学(第6版)6-2第6章统计量及其抽样分布本章将较系统地介绍统计量的概念，以正态分布为基础导出常用的几个重要分布，并给出一些常用统计量的抽样分布。统计学(第6版)6-36.1统计量6.2关于分布的几个概念6.3由正态分布导出的几个重要分布6.4样本均值的分布与中心极限定理6.5样本比例的分布6.6两个样本均值之差的分布6.7关于样本方差的分布第6章统计量及其抽样分布6.1统计量统计学(第6版)6-56.1统计量统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参数；根据不同的研究目的，可构造不同的统计量；利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性质；统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着非常重要的地位。6.1.1统计量的概念统计学(第6版)6-6定义6.1设X1，X2，…Xn是从总体中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1，X2，…Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1，X2，…Xn)是一个统计量。对于T(X1，X2，…Xn),也称样本统计量。当获得样本的一组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T，就是一个具体的统计量值T(x1，x2，…xn)。6.1统计量统计学(第6版)6-76.1统计量参数。的未知为其中含有依赖于总体不是统计量，主要是因都E(X）]/D(X)[(X,E(X）][(X都是统计量，而）X(X1n1SXn1X个样本，则是从总体X中抽取的一X,,X,设X【例6.1】in1i2in1i2i2n1iin21统计学(第6版)6-8。,])XX([)XX(n)(。,)XX()XX(n)(。k，)XX(nv)(。km，Xnm)(。XSV)(。)XX(nS)(。XnX)(niiniiniiniinikiknikkikniinii为样本峰度称为样本偏度称阶中心矩为样本称阶矩为样本称是样本的离散系数是样本方差是样本的均值4122414323123131112213761514312116.1统计量6.2.2常用统计量（当n充分大时）统计学(第6版)6-96.16.1统计量统计量6.1.3次序统计量定义6.2设（X1，X2，…Xn）是从总体X中抽取的一个样本,X(i)称为第i个次序统计量,它是样本（X1，X2，…Xn）满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值x1，x2，…,xn时，其由小到大的排序x(1)≤x(2)≤…≤x(i)≤…≤x(n)中，第i个值x(i)就作为次序统计量X(i)的观测值，X(1),X(2)…X(n)称为次序统计量。其中X(1)和X(n)分别为最小和最大次序统计量。R(n)=X(n)－X(1)称为样本极差中位数、分位数、四分位数都是次序统计量。统计学(第6版)6-106.1.4充分统计量在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量具有重要意义。在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。因子分解定理是判别充分统计量的方法，由奈曼和哈尔姆斯在20世纪40年代提出的。6.16.1统计量统计量统计学(第6版)6-116.16.1统计量统计量【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除了前3个是不合格品（记为X1=1,X2=1,X3=1）外，其他都是合格品（记为Xi=0,i=4,5,…,100）。当企业领导问及抽检结果时，质检员给出如下回答：（1）抽检的100个元件中有3个不合格；（2）抽检的100个元件中前3个不合格；充分统计量（算例）在产品检验中，二项分布的统计量是不合格品率p的充分统计量。1001iiXT6.2关于分布的几个概念统计学(第6版)6-136.2关于分布的几个概念6.2.1抽样分布近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个中心内容。定义：在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n,都能导出统计量T(X1,X2,…,Xn)的分布的数学表达式,这种分布称为精确的抽样分布。精确的抽样分布大多是在正态总体的情况下得到的。在正态总体条件下主要有分布、t分布和F分布，常称为统计的三大分布。2χ统计学(第6版)6-14当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限分布常称为统计量的渐近分布；第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的渐近分布；不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。6.26.2关于分布的几个概念关于分布的几个概念6.2.2渐近分布统计学(第6版)6-156.2.3随机模拟获得的近似分布1.背景2.思想设有一个统计量T(X1，X2，…Xn)，其中n为样本容量，求统计量T的分布函数F(n)(t)；可连续作一系列类似试验，每次试验都是从总体中抽取容量为n的样本，然后计算其统计量的值；当这种试验进行了N次时，就得到统计量T的N个观测值：T1，T2，…，TN；根据这N个观测值可做其经验分布函数FN(n)(t)的一个很好的近似。6.26.2关于分布的几个概念关于分布的几个概念6.3由正态分布得到的几个重要分布统计学(第6版)6-176.3由正态分布得到的几个重要分布6.3.1分布2定义6.3设随机变量X1，X2，…Xn相互独立,且Xi(i=1,2,…,n)服从标准正态分布N(0,1)，则它们的平方和服从自由度为n的分布。n1i2iX2不同容量样本的卡方分布2n=1n=4n=10n=20当自由度增加时，卡方分布的概率密度曲线趋于对称。当n趋于无穷大时，卡方分布的极限分布就是正态分布。统计学(第6版)6-186.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布n2)(n1且独立，则(n2),(n1),分布的可加性，即若3.2n)2.方差为：D(n)1.数学期望为：E(分布的性质222212222212222~~~统计学(第6版)6-19定义6.4设随机变量X～N(0,1),Y～，且X与Y独立,则)(2nnYXt/其分布称为t分布，记为t(n),其中n为自由度。（6.2）6.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布6.3.2t分布统计学(第6版)6-20称的.0对图形是关于t一个偶函数，因此t分布的密度函数是当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.；，1)分布t分布近似于N(0,所以当n足够大时分布相差很大.t分布与N(0,1)n,但对于较小的6.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布统计学(第6版)6-21niiXnX11niiXXnS122)(11SXn)(1.设X1，X2，…Xn是来自正态分布N(μ,σ2)的一个样本，则～t(n-1)（6.3）称为服从自由度为(n-1)的t分布。6.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布统计学(第6版)6-22niiXnX111)t(n~sμ)X(n1n1σ1)S(nnσ/μX1)(nχ~σ1)S(nσXXσ1)S(n)X(X1n1S222222n1ii22n1i2i2得，由niiEXnXE11)(niinXDnXD122)(1)(证明：因为Xi服从正态分布,所以也服从正态分布X)1,0(~/),,(~2NnXnNX即6.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布统计学(第6版)6-232.设X和Y是两个相互独立的总体，X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本，Y1，Y2，…，Ym是来自Y的样本，记niiXnX11miiYmY11miiyYYmS122)(11niixXXnS122)(112)1()1(222mnSmSnSyxxy)2(~)()(21mntnmmnSYXxy（6.4）6.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布统计学(第6版)6-24)1,0(~11)()(),(~)()()()(1,1212221222111NmnYXmnNYXmnYDXDYXDYXEYmYXnXmiinii)2(~)()()()()2()1()1(11)()()2(~)1()1()1(~)1(),1(~)1()(11,)(11212122222122222222222122122mntnmmnSYXSmnmnYXmnSmSnmnYXmnSmSnmSmnSnYYmSXXnSxyxyyxyxyxmiiyniix)2(~)()(21mntnmmnSYXxy6.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布证明：统计学(第6版)6-256.3.3F分布定义6.5设随机变量Y与Z相互独立，且Y与Z分别服从自由度为m和n的分布)(~)(~22nZmY2mZnYZ/nY/mX则称（6.5）X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为F(m,n)，简记为X～F(m,n)。6.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布统计学(第6版)6-266.36.3由正态分布得到的几个重要分布由正态分布得到的几个重要分布n).F(1,~n)分布，则X若随机变量X服从t(关系：2.F分布和t分布的4n,4)2)(nm(n2)n(m2nD(X)2n,2nnE(X)和方差为n)分布，则数学期望F(m,~1.若XF分布的性质：226.46.4样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理统计学(第6版)6-28样本均值的抽样分布（一个例子）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3、X4=4。总体的均值、方差及分布如下：总体的均值和方差：5.21NXNii25.1)(122NXNii6.46.4样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理统计学(第6版)6-29现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）6.46.4样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理统计学(第6版)6-30计算出各样本的均值，如下表。3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）6.46.4样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理统计学(第6版)6-31所有样本均值的均值和方差式中：M为样本数目结论：1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/nnMxmixix222122625.016)5.20.4()5.20.1()(5.2160.45.10.11Mxmiix6.46.4样本均值的分布与中心极限定理样本均值的分布与中心极限定理统计学(第6版)6-326.4样本均值的分布与中心极限定理设X1，X2，…Xn为从某一总体中抽出的随机样本，若总体分布为正态分布N(μ，σ2)