高数10-2

一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、利用直角坐标计算二重积分如果区域D可以表示为不等式j1(x)yj2(x),axb,则称区域D为X型区域.X型区域与Y型区域如果区域D可以表示为不等式y1(y)xy2(y),cyd,则称区域D为Y型区域.有的区域既是X型区域又是Y型区域,而有的区域既不是X型区域又不是Y型区域,但它总可以表示为若干个X型区域或Y型区域的并.xOy上页下页铃结束返回首页提示为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.此时二重积分dyxfD),(在几何上表示以曲面zf(x,y)提示截面是以区间[j1(x0),j2(x0)]为底、以曲线zf(x0,y)为曲边的曲边梯形.提示根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.)()(000201),()(xxdyyxfxAjj.设f(x,y)0,D{(x,y)|j1(x)yj2(x),axb}.二重积分的计算对于x0[a,b],曲顶柱体在xx0的截面面积为曲顶柱体体积为badxxAV)(dxdyyxfbaxx]),([)()(21jj.badxxAV)(dxdyyxfbaxx]),([)()(21jj.上页下页铃结束返回首页即dxdyyxfdyxfVbaxxD]),([),()()(21jj.注计算一般二重积分只需取消f(x,y)0的限制.)()(000201),()(xxdyyxfxAjj.设f(x,y)0,D{(x,y)|j1(x)yj2(x),axb}.二重积分的计算对于x0[a,b],曲顶柱体在xx0的截面面积为曲顶柱体体积为badxxAV)(dxdyyxfbaxx]),([)()(21jj.badxxAV)(dxdyyxfbaxx]),([)()(21jj.上页下页铃结束返回首页dxdyyxfdyxfbaxxD]),([),()()(21jj.•如果D是X型区域D{(x,y)|j1(x)yj2(x),axb},则二重积分的计算先y后x的二次积分baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(jj.也记为上页下页铃结束返回首页•如果D是Y型区域D{(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd},则二重积分的计算dcyyDdydxyxfdyxf)()(21]),([),(yydcyydxyxfdy)()(21),(yy.先x后y的二次积分上页下页铃结束返回首页解画出区域D.方法一,把D看成是X型区域于是D1x2,1yx.围成的闭区域.例1计算dxyD,其中D是由直线y1、x2及yx所211][xDdxxydydxy2132112)(21]2[dxxxdxyxx89]24[212124xx.211][xDdxxydydxy2132112)(21]2[dxxxdxyxx89]24[212124xx.2132112)(21]2[dxxxdxyxx89]24[212124xx.注211211xxDydyxdxxydydxdxy.积分还可以写成211211xxDydyxdxxydydxdxy.上页下页铃结束返回首页212][yDdyxydxdxyD1y2,yx2.解画出区域D.方法二,把D看成是Y型区域围成的闭区域.例1计算dxyD,其中D是由直线y1、x2及yx所于是2132122)22(]2[dyyydyxyy89]8[2142yy.212][yDdyxydxdxy2132122)22(]2[dyyydyxyy89]8[2142yy.2132122)22(]2[dyyydyxyy89]8[2142yy.2x上页下页铃结束返回首页分析积分区域可表示为X型区域D1y1,1xy.D1x1,xy1.积分区域也可表示为Y型区域及yx所围成的闭区域.例2计算dyxyD221,其中D是由直线y1、x1或111222211yDdxyxydydyxy.于是有122112211xDdyyxydxdyxy,提问哪个二次积分容易计算？1x上页下页铃结束返回首页解及yx所围成的闭区域.例2计算dyxyD221,其中D是由直线y1、x1于是有122112211xDdyyxydxdyxy,1131112322)1|(|31])1[(31dxxdxyxx21)1(32103dxx.1131112322)1|(|31])1[(31dxxdxyxx积分区域可表示为X型区域D1x1,xy1.上页下页铃结束返回首页分析积分区域可表示为DD1+D2,其中积分区域也可表示为所围成的闭区域.例3计算dxyD,其中D是由直线yx2及抛物线y2xD10x1,xyxD21x4,xy2.D1y2,y2xy2.1D2D上页下页铃结束返回首页分析积分区域可表示为DD1+D2,其中积分区域也可表示为D1y2,y2xy2.于是41210xxxxDxydydxxydydxdxy,或2122yyDxydxdydxy.提问哪个二次积分容易计算？所围成的闭区域.例3计算dxyD,其中D是由直线yx2及抛物线y2xD10x1,xyxD21x4,xy2.上页下页铃结束返回首页解积分区域可表示为D1y2,y2xy2.所围成的闭区域.例3计算dxyD,其中D是由直线yx2及抛物线y2x2122yyDxydxdydxy21222]2[dyyxyy2152])2([21dyyyy855]62344[21216234yyyy.21222]2[dyyxyy2152])2([21dyyyy上页下页铃结束返回首页例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R2及x2z2R2.由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的8倍.第一卦限部分是以曲面为顶,以区域D:22zRx为底的曲顶柱体.220,yRx0xR上页下页铃结束返回首页例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R2及x2z2R2.所求立体的体积为dxRVD228RxRdyxRdx00222283022316)(8RdxxRR.上页下页铃结束返回首页解积分区域如图示,例5计算2110.yxdxedy提示:不可积出,2yedy只好改换积分次序.xyOyx1y1:01,Dy2110yxdxedy0.xy2100yydyedx210yyedy21201()2yedy2101[]2ye1122e表示为Y型区域:二次积分上页下页铃结束返回首页例6改换下列二次积分的积分次序.(1)22200(,);xxdxfxydy解积分区域如图示,表示为Y型区域:22111011(,)yydyfxydx1:01,Dy22yxx22(1)1xy22yxx211xy2提示:xyO211xy211xy221111yxy22200(,)xxdxfxydy上页下页铃结束返回首页例6改换下列二次积分的积分次序.(2)212(,).yydyfxydx解积分区域如图示,表示为X型区域时,分两部分:21:01,22;Dxxyxy2xyxyO1212:12,2.Dxxy212(,)yydyfxydx1202(,)xdxfxydy221(,)xdxfxydy上页下页铃结束返回首页解积分区域如图示,将积分区域分为两部分:例7计算|1|,Dxyd其中:11,02.Dxy:11,12;Dxxy:11,01.DxyxxyO2111xy1xyDD|1|Dxyd(1)Dxyd(1)Dxyd1211(1)xdxxydy1110(1)xdxxydy1211(1)2xdx1211(1)2xdx83上页下页铃结束返回首页所围立体为一曲顶柱体,解:02,042Dxyx例8求由以下曲面在第一卦限所围立体的体积:2(4)DVxd242200(4)xdxxdyxOzD24zx24xyy20,0,0,24,4.xyzxyzx24,zx其顶为底为所围立体的体积为2230(16842)xxxdx403上页下页铃结束返回首页•设D关于y轴对称.对称性问题(1)若f(x,y)f(x,y),则(,)0.Dfxyd其中D1为D在y轴右半部分.(2)若f(x,y)f(x,y),则1(,)2(,),DDfxydfxyd(,)Dfxyd()()(,)yybaxxfxyddxyxyOab()xxy()xxy提示:1(,)Dfxyd()0(,)xbayfxydxdy上页下页铃结束返回首页•设D关于y轴对称.对称性问题(1)若f(x,y)f(x,y),则其中D1为D在y轴右半部分.(2)若f(x,y)f(x,y),则提问:若D关于x轴对称,有何类似结果?(,)0.Dfxyd1(,)2(,),DDfxydfxyd例924401(1)yxxyxyd2上页下页铃结束返回首页作业1．画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）sindDxx，D由yx，2yx及2x所围；[1cos2]（2）4dxDye，D由2yx，2x及x轴所围；[161(1)6e]（3）22()dDxyx，D由yx，2yx及2y所围；[136]（4）sindDyx，D由2xy，1y及y轴所围；[1(1sin1)2]（5）dxyDe，D由yx，3xy及2y所围.[41(4)2ee]上页下页铃结束返回首页作业2．画出积分区域，并交换积分次序：（1）tan400d(,)dxxfxyy；（2）22212d(,)dxxxxfxyy；（3）2220d(,)dyyyfxyx；（4）220d(,)dyyyfxyx.3．计算2230dd1xyIxyy.[43]4．计算112111224ddddyyyyxxyIyexyex.[3182ee]5．求由平面1xy，曲面22zxy及三坐标面所围立体的体积.[16]