高数 泰勒公式

一、问题的提出1.设)(xf在0x处连续,则有2.设)(xf在0x处可导,则有例如,当x很小时,xex1,xx)1ln([)()(0xfxf])]())(()()([0000xxoxxxfxfxf（如下图）)()(0xfxf))(()()(000xxxfxfxfxeyxy1oxeyoxy)1ln(xy不足:问题:寻找函数)(xP,使得)()(xPxf误差)()()(xPxfxR可估计1、精确度不高；2、误差不能估计。设函数)(xf在含有0x的开区间),(ba内具有直到)1(n阶导数,)(xP为多项式函数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010误差)()()(xPxfxRnn二、nP和nR的确定0x)(xfyoxy分析:)()(00xfxPn)()(00xfxPn)()(00xfxPn2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交0x假设nkxfxPkkn,,2,1)()(0)(0)(),(00xfa代入)(xPn中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)())(()()(00)(200000得),,2,1,0()(!10)(nkxfkakk),(101xfa)(!202xfa,)(!0)(xfannn三、泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理如果函数)(xf在含有0x的某个开区间),(ba内具有直到)1(n阶的导数,则当x在),(ba内时,)(xf可以表示为)(0xx的一个n次多项式与一个余项)(xRn之和:)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0x与x之间).证明:由假设,)(xRn在),(ba内具有直到)1(n阶导数,且两函数)(xRn及10)(nxx在以0x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得)())(1()(0011之间与在xxxnRnn0)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000xRxRxRxRnnnnn如此下去,经过)1(n次后,得两函数)(xRn及nxxn))(1(0在以0x及1为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得0))(1()()())(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR!1)()()()1(10nRxxxRnnnn(之间与在nx0,也在0x与x之间))())(1()(1021022之间与在xxnnRnnnkkknxxkxfxP000)()(!)()(称为)(xf按)(0xx的幂展开的n次近似多项式nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称为)(xf按)(0xx的幂展开的n阶泰勒公式)()(!1)()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn则由上式得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn拉格朗日形式的余项1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR])[()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf)()(!1)()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn皮亚诺形式的余项0)()(lim00nnxxxxxR及].)[()(0nnxxoxR即注意:1.当0n时,泰勒公式变成拉氏中值公式)())(()()(000之间与在xxxxfxfxf2.取00x,在0与x之间,令)10(x则余项1)1()!1()()(nnnxnxfxR)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林(Maclaurin)公式四、简单的应用例1求xexf)(的n阶麦克劳林公式.解,)()()()(xnexfxfxf1)0()0()0()0()(nffffxnexf)()1(注意到代入公式,得).10()!1(!!2112nxnxxnenxxxe由公式可知!!212nxxxenx估计误差)0(x设!1!2111,1nex取.)!1(3n其误差)!1(neRn).10()!1()!1()(1nxxnxnenexR常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx例2计算403cos2lim2xxexx.解)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(127lim4440xxoxx原式xyxysin播放五、小结1.Taylor公式在近似计算中的应用;播放2.Taylor公式的数学思想---局部逼近.思考题利用泰勒公式求极限3)1(sinlimxxxxexx思考题解答)(!3!21332xoxxxex)(!3sin33xoxxx3)1(sinlimxxxxexx333332)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx3333)(!3!2limxxoxxx61一、当10x时，求函数xxf1)(的n阶泰勒公式.二、求函数xxexf)(的n阶麦格劳林公式.三、验证210x时，按公式62132xxxex计算xe的近似值，可产生的误差小于0.01，并求e的近似值，使误差小于0.01.四、应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差.五、利用泰勒公式求极限：1、xexxx420sincoslim2；2、)]11ln([lim2xxxx.练习题一、])1()1()1(1[12nxxxx)1,0()]1(1[)1()1(211nnnxx.二、)!1(!232nxxxxxenx)10(,)1()!1(11nxxexnn.三、645.1e.四、5331088.1,10724.330R.五、1、121.2、21.练习题答案