高数 第二节 多元函数的基本概念

推广第七章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第七章第二节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念一、多元函数的概念机动目录上页下页返回结束1.平面点集有序数组(x，y)所对应的平面点的集合称为平面点集。例如，{(-10,2),(-1,0),(0,0),(4,-6),(10,8)}是平面点集，在xOy平面上表示5个点的集合；集合{(x,y)|-1≤x≤2,0≤y≤2}是平面点集，在xOy平面上表示一个长方形及其四边。δ00PP2.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,),()δ,(0yxPU(圆邻域)在空间中,),,(),(0zyxPU(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点P0的去心邻域记为δ0PP机动目录上页下页返回结束在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为),()δ,U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动目录上页下页返回结束3.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含EE则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心机动目录上页下页返回结束E邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域机动目录上页下页返回结束xyo21xyoxyoxyo21整个平面点集1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束11oxy对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无4.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,,Rnn维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即机动目录上页下页返回结束RRRRn一个点,当所有坐标称该元素为nR中的零元,记作O.的距离记作中点a的邻域为),,,(21nyyyy与点机动目录上页下页返回结束),,,(R21nnxxxx中的点规定为),,,(R21nnxxxx中的点与零元O的距离为22221nxxxx.,3,2,1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元.ax记作nR5、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cba机动目录上页下页返回结束hr定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作机动目录上页下页返回结束例3.求函数22(,)4fxyxy解:(,)xy要使函数的定义域。于是所求定义域为22{(,)|4}.Dxyxy在xOy平面上D表示圆周以及圆周内的全部点的平面集合。224xy机动目录上页下页返回结束22(,)4fxyxy有意义，对于点必须满足2240xy02xy例4.求函数ln(1)zxy解:(,)xy要使函数的定义域。于是所求定义域为{(,)|1}.Dxyyx在xOy平面上D表示在直线的下方但不包含此直线的半平面。1yx机动目录上页下页返回结束ln(1)zxy有意义，对于点必须满足10xy01yxxy例5.求函数2222ln(4)1zxyxy解:,xy要使函数的定义域。于是所求定义域为22{(,)|14}.Dxyxy机动目录上页下页返回结束有意义，对于自变量必须同时满足222240,10xyxy在xOy平面上，D表示以原点为圆心，半径为1和2的同心圆所围成的（包含内圆，不包含外圆）圆环。221xy224xy2xy01xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22yxyx圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz又如机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.12R),(yx三元函数)arcsin(222zyxu定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球xyzo二、多元函数的极限定义2.设n元函数,R),(nDPPf点,,)δ,(0PUDP则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0是D的聚若存在常数A,对一记作00lim(,)xxyyfxy都有机动目录上页下页返回结束对任意正数,总存在正数,切例6.设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证:故0),(lim00yxfyx,0ε,δ022时当yx22yx,εδ总有机动目录上页下页返回结束ε要证例7.设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：0),(yxf故0),(lim00yxfyx,0εyx,2εδ时，当δ022yxρ总有ε要证机动目录上页下页返回结束若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.例8.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束例9.求解:因,)(2224122yxyx而620)cos1(4limrrr此函数定义域不包括x,y轴,222yxr令则62)cos1(4rr6402limrrr2cos1r2~2r故机动目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限),(lim00yxfyyxx不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx,0但由例8知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束多元函数的连续性定义3.设n元函数)(Pf定义在D上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上,0DP聚点如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续,例如,函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.122yx故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则机动目录上页下页返回结束)()2(Pf*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意，DQ(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略).11lim00yxyxyx解:原式21例10.求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例11.求函数的连续域.解:02yx2yx111lim00yxyx机动目录上页下页返回结束2oyx2内容小结1.区域•邻域:,)δ,(0PU)δ,(0PU•区域连通的开集•空间nR2.多元函数概念n元函数),,,(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(PfunR机动目录上页下页返回结束APfPP)(lim0,0ε,0δ时，当δ00PP有ε)(APf3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续机动目录上页下页返回结束作业P173、(1),(6)4、7、8(1),(3第二节目录上页下页返回结束备用题1.设求解法1令,2xyuyxv),(2yxxyf222yxy机动目录上页下页返回结束1.设求解法2令),(2vuuvf即222yxy),(2vuuvf机动目录上页下页返回结束200limxxxyxy230lim()xxx1,2.00ln(1)limxyxyxxy是否存在？解：yxx取所以极限不存在.30,,ln(1)~,xyxy利用00ln(1)limxyxyxxy机动目录上页下页返回结束3.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又220yxyx)0,0(f故函数在全平面连续.由夹逼准则得机动目录上页下页返回结束