高数 隐函数与参数方程求导

1主讲教师:王升瑞高等数学第十三讲2第四节一、隐函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数隐函数与参数方程求导第二章二、对数求导法3一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.此函数为隐函数.则称如010yex1ey0111yex1y0121yyxexy4两边对x求导(含导数的方程)y隐函数求导方法:例1设xyy是由方程0exyey所确定的，求.y解：方程两边同时对x求导。0yxyyey.yyyex5例2求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x(*)0因x=0时y=0,故确定的隐函数代入(*)求解。6例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导8xyy920y2323xy43故切线方程为323y43)2(x即将点代入03341y7求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导y例4.设8由方程确定,解:方程两边对x求导,得0yxyyey再求导,得2yeyyxey)(02y②当0x时,,1y故由①得ey1)0(再代入②得21)0(ey求①例5设若求再将代入上式。9观察函数,)4(1)1(23xexxxy方法:先在方程两边取对数,对数求导法--适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu二、对数求导法.sinxxy然后利用隐函数的求导方法求出导数.10例6.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导yy1xxlncosxxsin)sinlncos(sinxxxxxyx111)对幂指函数vuy可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uvlnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:12例7求下列函数的导数两边取对数yln两边对x求导yybalnxaxbbaxln]lnln[xba]lnln[axb.y1.132.)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对x求导21yy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41xuuuuuuu)ln(ln0求.y14例8.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示:分别用对数微分法求.,21yy答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx15三、由参数方程确定的函数的导数若变量y是x的函数，其对应关系是通过第三个变量t联系在一起的，即x,y是t的函数,这就是参数方程。参数方程的一般形式为：tytxt是参变量。例如：242tytx表示抛物线2xytaytaxsincos表示半径为a的圆：222ayx例如：炮弹以初速度v0与水平方向角t射出，其运动轨迹方程为：20021sincosgtatvyatvx表示。又如：16若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成x是y的函数)关系,参数方程求导17)cos1(tay求在2t处的切线方程。解：点坐标：)12(axay2txdyd2ttasin)cos1(ta12t切线方程：12axay例9已知摆线方程xa2yo)sin(ttax18,求解：0ddtxy例10设方程组两边同时对t求导,得19极坐标：若将直角坐标系中的原点取为极点，M轴的正半轴取为极轴。0xx设直角坐标系中点yx,的坐标M极坐标系中点M的坐标,r,rrsincosryrxxyryxtan222r020oMr称为极坐标的极径。称为极坐标的极角。把y由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系：yx20在对应于的点处的切线方程.解:化为参数方程sincosryrxxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222,),0(2M∴切线方程为22xy例11求螺线21求参数方程)()(tytx所表示的函数)(xfy的二阶导数.解:已知xdyd存在则22xdyd)(xdydxdd)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt)(xdydtdd)(),(,)()(tttt且tdxd)()(ttxdyd)(tx)()(tytx22xdyddxyd)()(tt也可使用一阶导数22例12设求.dd22xyxydd2211tt22ddxytt2131t?已知注意:t1则有2211ttdxyd23ttx22)1ln(ty求22,.dydydxdx解：xdyd])1ln([t)2(2tt)1(211tt2)1(21t例13设22dxyd2121t12t4121t22)1(212tyttxdxyd24)(tfx,且,0)(tf求.dd22xyddxy)(tft)(tf,ttft1)(tf已知解:)()(tftfty例14)(tfxty22dxyddxyd25内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式26作业P1091;2;3;4；5（1）（3）;6;7(2)（4）;8.27在求对数螺旋线er2线方程。解：因为sincosryrx得2dydx8.cosesineddx对求导，ddy)sin(cose)cos(sinesincoscossin2对应点处的切2022xye1故所求切线方程为2.yex