数字信号处理课后答案+第7章(高西全丁美玉第三版)

教材第7章习题与上机题解答1．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为：（1）h(n)长度N=6h(0)=h(5)=1.5h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3（2）h(n)长度N=7h(0)=－h(6)=3h(1)=－h(5)=－2h(2)=－h(4)=1h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。解：（1）由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：5.221)(N由于N=6为偶数(情况2)，所以幅度特性关于ω=π点奇对称。（2）由题中h(n)值可知，h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：32π212π)(N由于7为奇数(情况3)，所以幅度特性关于ω=0,π,2π三点奇对称。2．已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16，其16个频域幅度采样值中的前9个为：Hg(0)=12，Hg(1)=8.34，Hg(2)=3.79，Hg(3)~Hg(8)=0根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点，求其余7个频域幅度采样值。解：因为N=16是偶数（情况2），所以FIR滤波器幅度特性Hg(ω)关于ω=π点奇对称，即Hg(2π－ω)=－Hg(ω)。其N点采样关于k=N/2点奇对称，即Hg(N－k)=－Hg(k)k=1,2,…,15综上所述,可知其余7个频域幅度采样值：Hg(15)=－Hg(1)=－8.34，Hg(14)=－Hg(2)=－3.79，Hg(13)~Hg(9)=03．设FIR滤波器的系统函数为)9.01.29.01(101)(4321zzzzzH求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)，判断是否具有线性相位，解:对FIR数字滤波器，其系统函数为104321)9.01.29.01(101)()(NnnzzzzZnhzH1()1,0,9,2.1,0.9,110hn由h(n)的取值可知h(n)满足：h(n)=h(N－1－n)N=5所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数H(ejω)为所以其单位脉冲响应为10j)(jgje)(e)()e(NnmnhHH]ee9.0e1.2e9.01[1014j3j2jj2j2jjj2je)ee9.01.2e9.0e(1012je)2cos2cos8.11.2(101幅度特性函数为102cos2cos8.11.2)(gH相位特性函数为221)(N4．用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器，要求过渡带宽度不超过π/8rad。希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为||0||0e)e(cjjdcaH≤≤≤（1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)（2）求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定α与N之间的关系；（3）简述N解:（1）ccπjjjjddπc11()(e)edeed2π2πsin[()]π()nnhnHnn（2）为了满足线性相位条件，要求，N为矩形窗函数长度。因为要求过渡带宽度Δβ≤rad,所以要求,求解得到N≥32。加矩形窗函数,得到h(n)：21Na8πN4π8π≤)()()](sin[)()()(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021,10)(π)](sin[c≤≤（3）N取奇数时，幅度特性函数Hg(ω)关于ω=0,π,2π三点偶对称，可实现各类幅频特性；N取偶数时，Hg(ω)关于ω=π奇对称，即Hg(π)=0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。5．用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过π/10rad。希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为其它0||e)e(jjdcaH≤≤（1）求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)；（2）求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定α与N的关系；（3）N解:（1）直接用IFT［Hd(ejω)］计算：πjjddπ1()(e)ed2πnhnHccπjjjjπ1eedeed2nnccπj()()π1eded2πnjnccj()j()jπ()jπ()1[eeee]2π()nnnnna)]}(sin[)](π{sin[)(π1cnanan)(π)](sin[)(δcanananhd(n)表达式中第2项正好是截止频率为ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应。而δ(n－α)对应于一个线性相位全通滤波器：Hdap(ejω)=e－jωα即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示h(n)的长度，则h(n)=hd(n)RN(n)=)()(π)](sin[)(δcnRnnnN)(π)](sin[canan为了满足线性相位条件：h(n)=h(N－1－n)要求满足12N（3）N必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），H(ejπ)=0，不能实现高通。根据题中对过渡带宽度的要求，N应满足：,即N≥40。取N=41。N4π10π≤6．理想带通特性为||||0||e)e(cccjjdBBHa≤≤≤≤（1）求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)；（2）写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式，确定N与α之间的关系；（3）要求过渡带宽度不超过π/16rad。N的取值是否有限解:（1）πjjddπ1()()ed2πnhnHeccccjjjj()1eedeed2πBamanB)(π)](sin[)(π)])(sin[(ccananananB上式第一项和第二项分别为截止频率ωc+B和ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应。所以，上面hd(n)的表达式说明，带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。（2）h(n)=hd(n)w(n)ccsin[()()]sin[()]2π0.540.46cos()π()π()1NBnananRnnanaN为了满足线性相位条件，α与N应满足12N实质上，即使不要求具有线性相位，α与N也应满足该关系，只有这样，才能截取hd(n)的主要能量部分，使引起的逼近误差最小。（3）N取奇数和偶数时，均可实现带通滤波器。但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8π/N，所以，要求，即要求N≥128。7．试完成下面两题：（1）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ejω)，另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)，它与h(n)的关系是h1(n)=(－1)nh(n)。试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。N8π16π≤（2）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ejω)，截止频率为ωc,另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)，它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cosω0n，且ωcω0(π－ωc)。试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。解:（1）由题意可知)(]ee[21)()πcos()()1()(jjπ1nhnhnnhnhnnn对h1(n)进行傅里叶变换,得到mnnnnmnhhHjjjj1j1e]ee)(21e[)e(]e)(e)([21)π(j)π(jnnnnnhnh)]e()e([21)π(j)π(jnHH上式说明H1(ejω)就是H(ejω)平移±π的结果。由于H(ejω)为低通滤波器，通带位于以ω=0为中心的附近邻域，因而H1(ejω)的通带位于以ω=±π为中心的附近，即h1(n)是一个高通滤波器。这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为［π－ωc,π］）：①设计一个截止频率为ωc的低通滤波器hLp(n)。②对hLp(n)乘以cos(πn)即可得到高通滤波器hHp(n)cos(πn)=(－1)nhLp(n)。(2)与(1)同样道理，代入h2(n)=2h(n)cosω0n,可得2)e()e()e()(j)(jj200HHH因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ，且H2(ejω)为H(ejω)左右平移ω0，所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处，所以h2(n)具有带通特性。这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。8．题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列，N=8，H1(k)=DFT［h1(n)］k=0，1，…，N－1H2(k)=DFT［h2(n)］k=0，1，…，N－1（1）试确定H1(k)与H2(k)的具体关系式。|H1(k)|=|H2(k)|（2）用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？题8图解：（1）由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系：h2(n)=h1((n+4))8R8(n)由DFT的循环移位性质可得)()1()(e)()(11j1482kHkHkHWkHkkk|)(||)(||)(|11482kHkHWkHk(2)由题8图可知，h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件：h1(n)=h1(N－1－n)h2(n)=h2(N－1－n)所以，用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。直接计算FT［h1(n)］和［h2(n)］也可以得到同样的结论。设)(jg11j11e)()]([FT)e(HnhH27)1(21)()(21N)(jg22j22e)()]([FT)e(HnhH所以，群延时为27d)(d1129．对下面的每一种滤波器指标，选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。（1）阻带衰减为20dB，过渡带宽度为1kHz，采样频率为12kHz；（2）阻带衰减为50dB，过渡带宽度为2kHz，采样频率为20kHz；（3）阻带衰减为50dB，过渡带宽度为500Hz，采样频率为5kHz。解：我们知道，根据阻带最小衰减选择窗函数类型，根据过渡带宽度计算窗函数长度。为了观察方便，重写出教材第211页中表7.2.2。结合本题要求和教材表7.2.2，选择结果如下：（1）矩形窗满足本题要求。过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=200π/12000=π/60，精确过渡带满足：1.8π/N≤π/60，所以要求N≥1.8×60=108。（2）选哈明窗，过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=4000π/20000=π/5，精确过渡带满足：6.6π/N≤π/5，所以要求N≥6.6×5=33。（3）选哈明窗，过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=1000π/5000=π/5，精确过渡带满足：6.6π/N≤π/5，所以要求N≥6.6×5=33。10．利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器。要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率ωc=π/4rad，N=21。求出分别对应的单位脉冲响应。解:(1)希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ejω)为jjdπe0||4(e)π0||π4aH≤≤≤其中,a=(N－1)/2=10。(2)由Hd(ejω)求得hd(n)：π4j10jdπ/4πsin(10)14()eed2ππ(10)nnhnn