第三章 立体的投影

第三章立体的投影本章教学目标要求:1.掌握常见平面体和回转体的投影特征及其作图要领.2.掌握在平面体和回转体表面取点的作图方法。3.熟悉特殊点的几何意义及其作图要领。4.掌握平面与立体相交的分析方法和作图方法。5.掌握立体与立体相交的分析方法和作图方法。本章重点难点：1.截交线的形状特征分析和投影作图。2.辅助平面法作图的原理及方法。3.相贯线的形状特征分析和投影作图.§3-1平面立体概述:实际生产中的机械零件,尽管种类繁多、形状各异，都可以看作是由一些基本体或基本体经过切割、相交组合而成的组合体。本章着重研究基本体、切割体和相贯体的形体特征，立体的投影与作图方法，在立体表面上作点、作线的方法与三视图的画法。§3-2回转体的投影§3-3切割体的投影§3-4相贯体的投影§3-1平面立体的投影平面立体——由若干个平面围成的实体工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）和棱锥（棱台）。•平面立体侧表面的交线称为棱线。•若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。•若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。棱台棱柱棱锥•绘制平面立体的投影，即是绘制平面立体上所有平面的投影，也就是绘制平面立体上各平面间的交线(棱线)和各顶点(棱线的交点)的投影。平面体的投影特征：⑴体的三面投影图之间保持三等关系，三等关系适应整体和每一局部。⑵体上各组成平面的投影一般表现为一个封闭的线框，特殊积聚为一直线。⑶投影图上各线框的分界线表示物体表面发生变化（凹、凸或转折）。直棱柱——顶面和底面是两个全等且相互平行的多边形（特征面），各侧面为矩形。正棱柱——顶面和底面为正多边形的直棱柱。一、棱柱1.棱柱的投影作图:1.棱柱的投影分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱柱的顶面、底面为水平面，在俯视图中反映实形。(a)直观图(b)投影图图3–2正六棱柱的投影xyz由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。2.棱柱表面上点的投影zMABDCxym'点的可见性判别：若点所在平面的投影可见，点的投影可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。已知六棱柱ABCD侧表面上点M的V面投影m'，求该点的H面投影m和W面投影m″。(b)投影图m(a)直观图a(d)b(c)a′d′b′c′madbcMABDCma(d)b(c)a′d′b′c′m'madbcxyz平面立体投影可见性的判别规律：(1)在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是可见的。(2)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的直线,其可见性可利用交叉两直线的重影点来判别。(3)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均可见，否则均不可见。(4)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，两可见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交线为不可见。1.棱锥的投影二、棱锥棱锥——底面是多边形，各侧面为若干具有公共顶点的三角形。ASBC正棱锥——底面为正多边形,各侧面是全等的等腰三角形的棱锥。1.棱锥的投影分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。正三棱锥的底面为水平面，在俯视图中反映实形。后侧棱面为侧垂面，在左视图中积聚为一斜线。左、右侧棱面是一般位置平面，在三个投影面上的投影为类似形。作图:YXZsSs'b'c'ACBbabcsaa'O(c)(a)直观图(b)投影图aba′b′c′ca(c)b图3–3正三棱锥的投影sss′ASCBa's'c'b'abcsa(c)bsb'a's'c'sabc(c)absOZX已知棱面SAB上点M的正面投影m'和棱面SAC上点N的水平投影n。求作M、N两点的其余投影。2.棱锥表面上点的投影采用什么方法？平面上取点法(a)直观图(b)投影图mmmMn(n)nm作图方法1mmmm(a)直观图(b)投影图作图方法2注意：分清直线所在表面，求出与所有棱线的交点。ASCBa's'c'b'abcsa(c)bsb'a's'c'sabc(c)absOZXmmMmm3.棱锥台棱锥台——由平行于棱底的平面截去锥顶的一部分形成的立体,顶面与底面是相互平行的相似多边形,各侧面为等腰梯形。正棱锥台——由正棱锥截得的棱台。四棱锥台的投影图(a)直观图(b)投影图图3–4四棱锥台的投影小结1.平面立体投影的作图可归结为绘制平面（立体表面）和（棱）线投影的作图。——如果点或直线在特殊位置平面内，则作图时，可充分利用平面投影有积聚性的特点，由一个投影求出其另外两个投影；2.在立体表面上取点、取线的方法与在平面上取点、取线的方法相同。——如果点或直线在一般位置平面内，则需过已知点的一个投影作辅助线，求出其他投影。§3-2回转体的投影回转体——由回转面或回转面和平面围成的立体。•一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。•形成回转面的定线称为轴线,动线称为母线,母线在回转面上的任意位置称为素线。(a)轴线母线(b)•工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、球、圆环等。•绘制回转体的投影，即是绘制回转体的回转面和平面的投影，也就是绘制回转体的轮廓线、尖顶的投影和转向轮廓线的投影。•转向轮廓线——曲面上可见面与不可见面的分界线。(a)圆柱(b)圆锥(c)圆球(d)圆环一、圆柱圆柱面——一直线绕与它平行的轴线回转而成。圆柱的形体分析:当圆柱的轴线是铅垂线时,圆柱面上的所有素线都是铅垂线,顶面和底面为水平面。圆柱由圆柱面、顶面、底面围成1.圆柱的投影圆柱的投影分析:•顶面、底面的水平投影重合为一圆，正面投影和侧面投影分别重影为两直线；•圆柱面的水平投影积聚为一圆，正面投影和侧面投影分别画出转向轮廓线的投影。转向轮廓线作圆柱投影图圆柱的投影特性:•回转轴线用点画线表示；•水平投影积聚为一圆；•正面投影和侧面投影均为矩形。2.圆柱面上取点已知圆柱面上点M和点N的正面投影，求水平投影和侧面投影。m'mm分析：点在圆柱面上，利用水平投影的积聚性，可以求出点M和点N的水平投影。()nn'(n)作图：二、圆锥圆锥面——一直线绕与它相交的轴线回转而成。圆锥由圆锥面、底面围成圆锥的形体分析:当圆锥的轴线是铅垂线时,底面为水平面，圆锥面上的所有素线都是通过锥顶的直线。1.圆锥的投影转向轮廓线圆锥的投影分析:•底面的水平投影反映实形为一圆，正面投影和侧面投影分别重影为一直线；•圆锥面的水平投影为一圆，正面投影和侧面投影分别画出转向轮廓线的投影。作圆锥投影图圆锥的投影特性:•回转轴线用点画线表示；•水平投影为一圆（底面轮廓线），无积聚性；•正面投影和侧面投影为相同的等腰三角形。2.圆锥面上取点已知圆锥面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。作图方法一：辅助纬圆法aaA辅助纬圆(a)(b)a'作图方法二：辅助素线法as辅助素线Aba(c)(d)bb'a'三、圆球球面——半圆绕其直径为轴线回转一周而成。圆球由球面围成1.球的投影(a)(b)(c)(d)作球的投影图球的投影特性•三个投影均为平行于投影面的最大圆的投影（转向轮廓线的投影）；•圆的直径=球的直径；•三个圆均无积聚性。a'2.球面上取点已知球面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。用辅助纬圆法作图aAa辅助纬圆(a)(b)a'用辅助正平圆作图辅助纬圆Aaa(c)(d)四、不完整曲面立体的投影图3–13不完整曲面立体的投影五、基本体的尺寸标注尺寸基准：尺寸基准为定位尺寸标注的起点，在长、宽、高三个方向上至少选定一个。能作尺寸基准的有对称中心线、底面、主要的端平面、轴线或主要轴线。1.平面立体的尺寸注法图3–14平面立体的尺寸注法2.曲面立体的尺寸注法图3–15曲面立体的尺寸注法§3-3切割体的投影一、切割体及截交线的概念•切割体——基本体被平面截切后的部分。•截平面——截切立体的平面。•截断面——立体被截切后的断面。•截交线——截平面与立体表面的交线。•截交线性质：(1)截交线是截平面与立体表面的共有线。(2)截交线是封闭的线条。•截交线的形状取决于:(1)立体表面的几何形状。(2)截平面与立体的相对位置。截平面截交线截断面切割体图3–16截交线的基本概念及零件示例顶尖拨叉轴以下零件的截交线？图3–16截交线的基本概念及零件示例二、平面切割体的投影解：(1)形体与投影分析。截交线——直线围成的封闭的平面多边形。[例3-1]试求正四棱锥被一正垂面P截切后的投影。(a)题图p'123132(4')441'2'3'(b)求正垂面与立体的交线(2)作图:①求正垂面与立体的交线。ⅠⅡⅢⅣ(c)整理、加深②整理、加深。123132(4')441'2'3'ⅠⅡⅢⅣ(d)检查、完成③检查、完成。[例3-2]试求正四棱锥被两平面截切后的投影。QP(a)题图解：(1)形体分析与投影分析(b)形体分析与投影分析1'(c)求水平面、正垂面与立体的交线(2)作图:①求水平面、正垂面与立体的交线;ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ2'3'(4')(5')6'7'(8')1253472568713468(d)整理、加深②整理、加深；1'2'3'(4')(5')6'7'(8')1253472568713468(e)检查、完成③检查、完成三、回转切割体的投影1.圆柱切割体表3–1平面与圆柱相交的三种方式[例3-3]作出斜切圆柱体的截交线。解：(1)形体分析与投影分析。(2)作图:①作圆柱体的三视图。1'2'(4')3'12341234(6')5'5665（b)结果②找特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影。③作一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的投影。7'(8')7878(a)题图④光滑连线。ⅠⅡⅢⅣⅥⅤⅦⅧ[例3-4]在圆柱体上开出一方槽。已知其正面投影和侧面投影，求作水平投影。1'2'(3')(4')1231(2)3(4)（b）5'6'564解:(1)形体分析与投影分析。(2)作图：①作圆柱的水平投影。②找点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的投影。5⑹(a)题图ⅣⅠⅡⅢⅤⅥ③判别可见性，连线、加深。(c)1'2'(3')(4')1231(2)3(4)5'6'5645⑹④检查、完成。(d)[例3-5]求圆柱切割后的投影。解：(1)形体分析与投影分析。(a)题图(b)形体分析(2)作图：①作圆柱体的三视图。(c)②画出切去Ⅰ、Ⅱ部分的投影。(d)③画出切去Ⅲ部分的投影。(e)(f)④画出切去Ⅳ部分的投影,并检查、完成全图。表3-2平面与圆锥体相交的五种形式2.平面与圆锥相交[例3-6]求圆锥切割后的投影。图3–22圆锥体切割后的投影②找一般点Ⅳ、Ⅴ的侧面投影和正面投影。解：(1)形体分析与投影分析。(2)作图：①找特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的侧面投影和正面投影。1'3'1244'35'2'5(a)题图(b)作图③光滑连线。ⅠⅡⅢⅣⅤ平面与球面的交线总是圆。3.圆球切割体图3–23平面与球面交线的基本作图[例3-7]画出立体的投影。解：(1)形体与投影分析。QP(2)作图:①完成平面P的投影。②完成平面Q的投影。图3–24球体切割后的投影（a）题图（b）作图四、切割体的尺寸标注图3–25切割体的尺寸标注求截交线的投影小结1.一般步骤(1)分析被截立体和截平面之间的相对位置，再由它们对投影面的相对位置，预见截交线的投影特征。(2)确定作图方法表面取点法、辅助素线法、辅助纬圆法(3)作图特殊点：转向轮廓线上的共有点、极限点、对称轴上的顶点。2.作图步骤求特殊点作中间点判别可见性光滑连线§3-4相贯体的投影一、相贯体及相贯线的概念相贯体——两相交的立体。相贯线——相交立体表面的交线。立体相贯三种情况：(1)平面体与平面体相贯(2)平面体与曲面体相贯(3)曲面体与曲面体相贯相贯体相贯线图3–27两曲面体相贯线的性质(a)相贯线为封闭的空间曲线(b)相贯线为不封闭的空间曲线(d)相贯线为直线(c)相贯线为平面曲线两回转体相贯相贯线性质：(1)相贯线为相交体的表面所共有。(2)相贯线一般为封闭光滑的空间曲线，特殊情况可能为不封闭的空间曲线,也可能为平面曲线或直线。求画相贯线相贯线上的点为两相交立体表面上的共有点，求画相贯线的实质就是要求出两立体表面一系列的共有点。作图方法：①在立体表面上找点的方法。②利用辅助平面法作图。