第三章 第6讲 简单的三角恒等变换[配套课件]

第6讲简单的三角恒等变换考纲要求考点分布考情风向标1.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)2013年新课标Ⅰ第16题考查辅助角公式及求最大值；2014年新课标Ⅱ第14题考查三角函数最值问题；2016年新课标Ⅰ第14题考查三角函数求值；2017年新课标Ⅱ第13题考查三角函数最值问题客观题要注意诱导公式、同角关系式及齐次式的应用，解答题要注意三角变换与图象性质的整合、三角变换与解斜三角形的整合等1.转化思想(1)转化思想是三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等.三角函数公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降.(2)常用的升次公式有：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.2.三角函数公式的三大作用(1)三角函数式的化简.(2)三角函数式的求值.(3)三角函数式的证明.3.求三角函数最值的常用方法(1)配方法.(2)化为一个角的三角函数.(3)数形结合法.(4)换元法.(5)基本不等式法.1.若cosxcosy＋sinxsiny＝13，则cos(2x－2y)＝________.－79解析：cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny＝13，则cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝29－1＝－79.2.(2014年山东)函数y＝32sin2x＋cos2x的最小正周期为_______.π解析：y＝32sin2x＋cos2x＝32sin2x＋1＋cos2x2＝sin2x＋π6＋12，其周期为T＝2π2＝π.3.(2017年新课标Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为_______.14.(2016年浙江)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0)，则A＝_______，b＝_______.解析：f(x)＝2cosx＋sinx＝5sinx＋φ，最大值为5.解析：2cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4＋1，所以A＝2，b＝1.52考点1三角函数式的化简例1：(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.解析：(1)原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.答案：12cos2x(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是________.解析：方法一，原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.方法二，令α＝0，则原式＝14＋14＝12.答案：12(3)(2017年安徽黄山统测)若cosα＋sinα＝23，则2sin2α－π4＋11＋tanα的值为()A.59B.0C.－518D.－59答案：D解析：∵cosα＋sinα＝23，∴1＋2sinαcosα＝49.∴2sinαcosα＝－59.∴2sin2α－π4＋11＋tanα＝2×22sin2α－cos2α＋11＋tanα＝2sinαcosα＋2sin2α1＋sinαcosα＝2sinαcosα＝－59.故选D.【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.考点2三角变换的简单应用例2：(2016年北京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.解：(1)因为f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π4，所以f(x)的最小正周期Τ＝2π2ω＝πω.依题意，得πω＝π.解得ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋π4.函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z).由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z).【互动探究】1.已知函数f(x)＝2sinxsinx＋π6.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的值域.解：(1)f(x)＝2sinx32sinx＋12cosx＝3×1－cos2x2＋12sin2x＝sin2x－π3＋32.所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间是－π12＋kπ，5π12＋kπ，k∈Z.(2)当x∈0，π2时，2x－π3∈－π3，2π3，因为sin2x－π3∈－32，1，所以f(x)∈0，1＋32.故f(x)的值域为0，1＋32.考点3三角变换求最值例3：(2014年天津)已知函数f(x)＝cosx·sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f(x)＝cosx·12sinx＋32cosx－3cos2x＋34＝12sinx·cosx－32cos2x＋34＝14sin2x－34(1＋cos2x)＋34＝14sin2x－34cos2x＝12sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.【规律方法】求函数f(x)＝cosx·sinx＋π3－3cos2x＋34的最值，首先利用三角变换将函数f(x)化简为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后结合函数图象利用单调性求最值.本题最容易出现的错误就是直接将－π4，π4代入求值.【互动探究】2.(2013年新课标Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝____________.解析：f(x)＝sinx－2cosx＝515sinx－25cosx，设15＝cosα，25＝sinα，则f(x)＝5(sinxcosα－cosxsinα)＝5sin(x－α).∵x∈R，∴x－α∈R.∴f(x)max＝5.∵x＝θ时，f(x)取得最大值，∴f(θ)＝sinθ－2cosθ＝5.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝15，cosθ＝－25，即cosθ＝－255.答案：－2553.(2017年湖北襄阳一模)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋23cos2x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈－π3，π3时，求函数f(x)的最大值与最小值.解：(1)f(x)＝sin2x＋3(1＋cos2x)＝sin2x＋3cos2x＋3＝2sin2x＋π3＋3，当2x＋π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)单调递增，这时，x∈kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)；当2x＋π3∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)时，f(x)单调递减，这时，x∈kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z).∴函数f(x)＝2sinxcosx＋23cos2x的单调递增区间是kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，单调递减区间是kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z).(2)由(1)知，当x∈－π3，π12时，f(x)单调递增，当x∈π12，π3时，f(x)单调递减，∴函数f(x)的最大值为fπ12＝2＋3.又f－π3＝2sin－2π3＋π3＋3＝0，fπ3＝2sin2π3＋π3＋3＝3.∴函数f(x)的最小值为0.难点突破⊙三角不等式中的恒成立问题例题：已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x，x∈π4，π2.(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式|f(x)－m|2在x∈π4，π2上恒成立，求实数m的取值范围.解：(1)∵f(x)＝1－cosπ2＋2x－3cos2x＝1＋sin2x－3cos2x＝1＋2sin2x－π3.又x∈π4，π2，∴π6≤2x－π3≤2π3，即2≤1＋2sin2x－π3≤3.∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.∴mf(x)max－2，且mf(x)min＋2.∴1m4，即m的取值范围是(1,4).【规律方法】不等式恒成立问题，要想办法转化为求最大值、最小值问题.而求三角函数在某区间的最值(范围)时，不要只代两端点，要注意结合图象.(2)∵|f(x)－m|2⇔f(x)－2mf(x)＋2，x∈π4，π2，【互动探究】4.为使方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2内有解，则a的取值范围是()A.－1≤a≤1B.－1a≤1C.－1≤a0D.a≤－54B解析：设sinx＝t，则方程cos2x－sinx＋a＝0变为a＝t2＋t－1，其中t∈(0,1].∵t2＋t－1∈(－1,1]，∴－1a≤1.故选B.1.化简要求：(1)能求值的要求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使项数尽量少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数.2.将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种：一是代入法，二是代换法.最常用的代换就是三角代换.形如条件x2＋y2＝1，通常设x＝cosθ，y＝sinθ.在解析几何中常用三角代换，将二元转化为一元问题.向量、解析几何、实际应用等中的旋转问题也常引入角变量，转化为三角函数问题.利用三角函数的有界性，可以求函数的定义域、值域等.3.在进行三角函数的变换与求值时，要注意整体代换的灵活运用，不要一味追求将和差公式展开，如已知tanπ4－α＝3求tanα时，方法一是tanπ4－α＝tanπ4－tanα1＋tanπ4·tanα＝3再求解；方法二是tanα＝tanπ4－π4－α＝1－tanπ4－α1＋tanπ4－α再求解.