Fourier变换

§1.2Fourier变换1Fourier变换的概念2单位脉冲函数及其Fourier变换3非周期函数的频谱已知,若函数f(t)满足Fouriier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有jj1()()eded2tftf设则j()()ed(1.9)tFfttj1()()ed(1.10)2tftF1Fourier变换的概念jj1()()eded2tftf(1.9)式叫做f(t)的Fourier变换式，(1.10)式为F()的Fourier逆变换式，f(t)与F()可相互转换,可记为j()()ed(1.9)tFfttj1()()ed(1.10)2tftF和还可以将f(t)放在左端,F()放在右端,中间用双向箭头连接:(1.9)式右端的积分运算,叫做f(t)的Fourier变换,同样,f(t)F()(1.10)式右端的积分运算,叫做F(w)的Fourier逆变换.F(w)称作f(t)的象函数,f(t)称作F(w)的象原函数.可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对，它们有相同的奇偶性。j()()ed(1.9)tFfttj1()()ed(1.10)2tftF当f(t)为奇函数时，由上式可得叫做f(t)的Fourier正弦变换式(简称为正弦变换)，即叫做的Fourier正弦逆变换式(简称为正弦逆变换)，即而j()()ed(1.9)tFfttj1()()ed(1.10)2tftF当f(t)为偶函数时，由上式同理可得叫做f(t)的Fourier余弦变换式(简称为余弦变换)，即叫做的Fourier余弦逆变换式(简称为余弦逆变换)，即而j()()ed(1.9)tFfttj1()()ed(1.10)2tftF0,0()e,0ttftttf(t)例1求函数的Fourier变换及其积分表达式，其中β0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。0,0()e,0ttftt例1求函数的Fourier变换及其积分表达式，其中β0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。根据公式,有j()[()]()edtFftfttF解：j0eedttt221jj(j)0edtt0,0()e,0ttftt例1求函数的Fourier变换及其积分表达式，其中β0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。j22j()[()]()edtFftfttF解：这就是指数衰减函数的Fourier变换。下面来求指数衰减函数的积分表达式。根据Fourier逆变换式和奇偶函数的积分性质,有1j1()[()]()ed2tftFFF0,0()e,0ttftt例1求函数的Fourier变换及其积分表达式，其中β0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。解：1j1()[()]()ed2tftFFFj221jed2t2201cossindtt221j(cosjsin)d2tt0,0()e,0ttftt例1求函数的Fourier变换及其积分表达式，其中β0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。解：1j1()[()]()ed2tftFFF因此220001cossin()d1/20e0ttttfttt2201cossindtt0,0()e,0ttftt例1求函数的Fourier变换及其积分表达式，其中β0。这个f(t)叫指指数衰减函数，是工程技术上常碰到的一个函数。解：因此可得到一个含参量广义积分的结果：220001cossin()d1/20e0ttttfttt22000cossind/20e0ttttttsin||()0||ttftt例求函数的Fourier变换并求：j()[()]()edtFftfttF解：函数为一连续奇函数，则jsinedttt20sinsind.1tsin(cosjsin)dttttjsinsindtttsin||()0||ttftt例求函数的Fourier变换并求：j()[()]()edtFftfttF解：20sinsind.1tjsinsindttt02jsinsindttt0j[cos(1)cos(1)]dttt00sin(1)sin(1)j()11ttsin||()0||ttftt例求函数的Fourier变换并求：j()[()]()edtFftfttF解：20sinsind.1t00sin(1)sin(1)j()11ttsin(1)sin(1)j()1122jsin1sin||()0||ttftt例求函数的Fourier变换并求：()[()]FftF解：20sinsind.1t22jsin1由Fourier积分公式，有1j1()[()]()ed2tftFFF212jsin(cosjsin)d21tt212sinsind21tsin||()0||ttftt例求函数的Fourier变换并求：解：20sinsind.1t1j1()[()]()ed2tftFFF212sinsind21t202sinsind1t20sin||sinsind210||tttt所以有例2求函数的Fourier变换及其积分表达式，其中A0,β0。这个函数叫做钟形脉冲函数，也是工程技术中常碰到的一个函数。2()etftA解根据Fourier变换式，有j2ts如令，上式为一复变函数的积分，即j()[()]()edtFftfttF222j2j4eedeedtttAtAt22jj22j2eddtstes积分路线如图所示:ABCDRRO实轴虚轴由于为复平面s上的解析函数，取图所示的闭曲线l：矩形ABCDA，按Cauchy积分定理，有即其中，当时，有令同理，当时，有从而，当时，有由此可知即因此，钟形脉冲函数的Fourier变换为22j24()[()]eedtFftAAtF24Ae下面求钟形脉冲函数的积分表达式,根据Fourier积分变换式，并利用奇偶函数的积分性质，可得由此还可得到一个含参量广义积分的结果：例3求函数的正弦变换和余弦变换.解根据正弦变换式，f(t)的正弦变换为根据余弦变换式，f(t)的余弦变换为可以发现，在半无限区间上的同一函数f(t)，其正弦变换和余弦的结果是不同的。例求函数的正弦变换和余弦变换.解根据正弦变换式，f(t)的正弦变换为例求函数的正弦变换和余弦变换.解根据余弦变换式，f(t)的余弦变换为在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，现在要确定电路上的电流i(t)。以q(t)表示上述电路中到时刻t为此通过导体截面的电荷函数(即累积电量)，则2.单位脉冲函数及其Fourier变换在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得00(0)(0)1(0)limlimttqtqitt这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为Dirac函数,简单记成d－函数。有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.d－函数是一个广义函数，它没有普通意义下的“函数值”，所以，它不能用通常意义下“值的对应关系”来定义。在广义函数论中，d－函数定义为某基本函数空间上的线性连续泛函，但要讲清楚这个定义，需要应用一些超出工科院校工程数学教学大纲范围的知识。为了方便起见，我们仅把d－函数看作是弱收敛函数序列的弱极限。对于任何一个无穷次可微的函数f(t)，如果满足0()()lim()()tftdttftdtdd则称d(t)的弱极限为d函数,记为d(t)，即d(t)1/O，或简记为这就表明，d函数可以看成一个普通函数序列的弱极限。其中对任何ε0，显然有01()dd1tttd()d1ttd则由给出的d函数的定义，有工程上将d-函数称为单位脉冲函数，可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示，这个线段的长度表示d-函数的积分值，称为d-函数的强度。又由d-函数的定义，可以推出d-函数的一个重要结果，称为d-函数的筛选性质：()()d(0)tfttfd(f(t)是无穷次可微函数)事实上，0()()dlim()()dtftttfttdd001lim()dftt001lim()dftt由于f(t)的无穷次可微函数，显然f(t)是连续函数，001()()dlim()dtfttfttd0lim()(01)f()d()(),[,]bafxxfbaab按积分中值定理，有所以，()()d(0)tfttfd00()()d()ttfttftd由d函数的筛选性质可知，对于任何一个无穷次可微函数f(t)都对应着一个确定的数f(0)或f(t0)这一性质使得d函数在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用。更进一步的还成立；d-函数有性质d-函数的Fourier变换为:tOd(t)1OF()1可见，单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一Fourier变换对。同理，d(tt0)和亦构成了一个Fourier变换对.0jted-函数除了重要的筛选性质外，还有一些性质：1)d-函数是偶函数，即2)其中称为单位阶