特殊的平行四边形菱形含答案

题型：解答题难度：中等详细信息已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE．AF∥BC，且AF=BC，连接DF．（1）求证：四边形AFDE是平行四边形；（2）如果AB=AC，∠BAC=60°，求证：AD⊥EF．（1）通过证明边DE平行且等于对边AF，即可证明四边形AFDE是平行四边形；（2）由题意得△ABC是等边三角形，故有AC=BC，又点E是AC的中点，可得出DE=AE，四边形AFDE是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得证．证明：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，即得DE∥BC，．…（2分）∵AF∥BC，，∴DE∥AF，DE=AF．…（2分）∴四边形AFDE是平行四边形．…（1分）（2）∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，即得：AC=BC．…（1分）于是，由点E是AC的中点，得．…（1分）又∵四边形AFDE是平行四边形，∴四边形AFDE是菱形．…（1分）∴AD⊥EF．…（1分）题型：解答题难度：压轴详细信息已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP=______，AQ=______；（2）设△APQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（1）根据∠A=60°，AB=12cm，得出AC的长，进而得出AP=2t，AQ=6-t．（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=t，从而求得S与t的函数关系式；（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ=PC，则可得出PN=QM=CM，求得t即可．【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，∴AC=6，∴由题意知：AP=2t，AQ=6-t，（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，∴∠B=30°，∴∠HPA=30°，∵AP=2t，AH=t，∴PH=t，∴S=×AQ×PH=×t×（6-t）=-t2+3t；（3）当t=4时，四边形PQP′C是菱形，证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，∵CQ=t，由（2）可知，AM=AP=tcm，∴QC=AM，当PC=PQ时，即CM=MQ=AQ=AC=2时，∴四边形PQP′C是菱形，即当t=4时，四边形PQP′C是菱形．题型：填空题难度：中等详细信息一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6，则此平行四边形的面积为．题型：填空题难度：困难详细信息如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AB=AD，连接BD，过A点作BD的垂线交BC于E，如果CE=3cm，CD=4cm，那么BD=cm．连接DE，因为AB=AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，继而根据勾股定理求出BD的长．【解析】连接DE．在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得DE=5．∵AB=AD，AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．∴DE=BE=5．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．∴∠BAE=∠AEB∴AB=BE=5∴BC=BE+EC=8，在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=4．故答案为：4．题型：解答题难度：压轴详细信息如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．求证：（1）四边形ABDF是菱形；（2）AC=2DG．（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，即可证明结论．证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），∴DE∥AB，DE=AB（三角形中位线性质）．（1分）∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）∵BC=2AB，BC=2BD，∴AB=BD．（1分）∴四边形ABDF是菱形．（1分）（2）∵四边形ABDF是菱形，∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．∵DE=AB，∴EF=AF．（1分）∵G是AF的中点．∴GF=AF，∴GF=EF．（1分）∴△FGD≌△FEA，（1分）∴GD=AE，∵AC=2EC=2AE，∴AC=2DG．（1分）题型：解答题难度：困难详细信息已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．（1）根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO=CO，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；（2）由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，∵EF垂直平分AC，∴AO=CO，FE⊥AC，又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵FE⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形；（2）在Rt△ABC中，由AB=5，BC=12，根据勾股定理得：AC===13，又EF=6，∴菱形AFCE的面积S=AC•EF=×13×6=39．题型：选择题难度：简单详细信息下列命题中，真命题是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形D．菱形的对角线相等型：选择题难度：压轴详细信息等腰梯形的两底中点的连线与两腰中点的连线，它们的关系是（）A．相等B．互相垂直但不一定互相平分C．互相平分但不一定互相垂直D．互相垂直平分可先画出示意图，根据等腰梯形的腰长相等可得出答案．【解析】根据AD=BC，GH∥AB∥DC可得EF⊥GH，结合中位线定理可得EF、GH互相平分．故选D．题型：解答题难度：困难详细信息如图，▱ABCD中，AB=9，对角线AC与BD相交于点O，AC=12，BD=，（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）求这个平行四边形的面积．（1）由四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得AO与BO的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可求得△AOB为直角三角形，则可得AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可证得▱ABCD是菱形；（2）由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求得菱形的面积．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC=12，BD=6，∴AO=AC=6，BO=BD=3，∵在△AOB中，AB=9，∵62+（3）2=92，即AO2+BO2=AB2，∴△AOB为直角三角形，∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；（2）由（1）可知：▱ABCD是菱形，即S菱形ABCD=AC×BD=36．题型：填空题难度：压轴详细信息如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，HF=2，EG=4，则四边形EFGH的面积为．由四边形ABCD是矩形与E、F、G、H分别是四条边的中点，根据SAS，易证得△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF，则可得EH=EF=FG=GH，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形EFGH是菱形，又由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得四边形EFGH的面积．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵E、F、G、H分别是四条边的中点，∴AE=DG=BE=CG，AH=DH=BF=CF，∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF（SAS），∴EH=EF=FG=GH，∴四边形EFGH是菱形，∵HF=2，EG=4，∴四边形EFGH的面积为：HF•EG=×2×4=4．故答案为：4．题型：填空题难度：中等详细信息下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．【解析】①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．故答案为：①③④．题型：解答题难度：困难详细信息如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．（2）若AB=3cm，AD=4cm，P从点A出发．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（1）依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以OP=OQ，则四边形PBQD的对角线互相平分，故四边形PBQD为平行四边形．（2）点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm，PD=（4-t）cm．当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4-t）cm．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4-t）2，由此可以求得t的值．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OD=OB，∴∠PDO=∠QOB，在△POD与△QOB中，，∴△POD≌△QOB（ASA），∴OP=OQ，∴四边形PBQD为平行四边形；（2）点P从点A出发运动t秒时，AP=tcm，PD=（4-t）cm．当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=（4-t）cm．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP=90°，∴在直角△ABP中，AB=3cm，AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4-t）2，解得：t=，∴点P运动时间为秒时，四边形PBQD能够成为菱形．题型：解答题难度：中等详细信息已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）求证：∠AEH=∠CGF；（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积．（1）由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由GE为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，利用等式的性质即可得证；（3）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．（1）证明：在△HDG和△AEH中