理论力学第III篇 动力学习题课

理论力学第三篇工程动力学基础动力学习题课第三篇工程动力学基础动量矩定理动能定理动力学普遍定理的综合应用第III篇动力学习题课动量定理达朗贝尔原理质点系的动量质点系动量定理eReiFFpdtdeReiCmFFaCiimmvvpCiimv0质心运动定理0Ciima动量定理vrLmCOZZJL22ZiiZmrmJ1.动量矩2）刚体的动量矩：定轴转动刚体对z轴的动量矩3）刚体对轴的转动惯量简单均质物体的转动惯量计算平行移轴定理2zzCJJmdiiiOmvrL1）质点系对O点的动量矩：平移刚体对O点的动量矩动量矩定理4.相对质心的动量矩定理动量矩定理3.刚体定轴转动微分方程5.刚体平面运动的微分方程2.质点系相对固定点O的动量矩定理eOOdtdML0zzMJzzJMeCCdtdMLeiCCMJFeiCmFaexCFxmeyCFymeiCCMJF动量定理与动量矩定理应用于刚体？定轴转动平面运动平移eddOOtMLeRddFptxCFxmyCFymzzMJeiCCMJFxCFxmyCFym★xCFxmyCFym刚体平面运动微分方程可以描述刚体的总体运动)(eiiCCiyCixCMJFymFxmF0)(00e＝＝＝iiCiyixMFFF动力学静力学静力学是动力学的特殊情形221ZJT221CmvT刚体的动能平移刚体的动能定轴转动刚体的动能平面运动刚体的动能222121CCJmvT动能定理动能定理及其应用1212WTT机械能守恒定律2211VTVT2*21CJ动力学普遍定理动量定理动能定理动量矩定理R1d)d(FFavniimtm质点系动力学的基础－质点动力学动力学普遍定理的综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。整体运动的变化所受的作用力动量定理动能定理动量矩定理动量力（冲量）动量矩力矩动能力的功动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。eoodtdML=1212=WTT矢量方程（外力）标量方程（内外力）矢量方程（外力）eRdtdFp表达式强调动力学普遍定理的综合应用FI＝－maF+FN＋FI＝0质点的惯性力质点的达朗贝尔原理达朗贝尔原理刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关！CmaF＝－IR1、平移2、定轴转动tnIR()FaaaCCCmm＝－＝－3、平面运动CmaF＝－IRaCmm2mnm1FInFI1FI2FIROCnCaCaRFnRFRFCaCRF惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关！1、平移0I＝CM2、定轴转动OOJM＝－I3、平面运动CCJM＝－IaCmm2mnm1FInFI1FI2FIROCminiaiaiFniFMIOCaCMIC第9章：习题解答作业中存在的问题1、一定要有必要的受力分析和运动分析。9－2第9章：习题解答9－2图示机构中，已知均质杆AB质量为m，长为l；均质杆BC质量为4m，长为2l。图示瞬时AB杆的角速度为，求此时系统的动量。解：杆BC瞬时平移，其速度为vB#2942mlmllmpppBCAB方向同vB。vBABCOω45˚45˚9－59－5图示均质滑轮A质量为m，重物M1、M2质量分别为m1和m2，斜面的倾角为q，忽略摩擦。已知重物M2的加速度a，试求轴承O处的约束力（表示成a的函数）。qqsincosN2FFamOxgmmmFFamamOy)(cossin21N21qq以M2作为研究对象可知：qcos2NgmFOAM1M2θam1gm2gFNFOxFOymg#cos)sin(sincoscos222qqqqqmgagmamFOx#)(cos)sin(212221gmmmgmammFOyqq解：对象：滑轮A和重物M1、M2系统受力：如图运动：如图方程：根据质心运动定理RxCixiFamRyCiyiFama第9章：习题解答9－79－7匀质杆AB长2l，B端放置在光滑水平面上。杆在图示位置自由倒下，试求A点轨迹方程。解：对象：杆受力：如图运动：平面运动方程：水平受力为零，初始静止，质心位置xC守恒：1coscos0llxA2sin2lyA由（1），得3coscos0llxA由（2），得4sin2lyA（3）、（4）两边平方后相加，得22204)cos(lylxAA此为椭圆方程。mgFB第9章：习题解答第10章：习题解答作业中存在的问题1、一定要有必要的受力分析和运动分析。2、运动学补充方程。3、会使用定轴转动微分方程和平面运动微分方程。OωRrABθ10－2图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别为R、r，对O轴的转动惯量为JO；物块A、B的质量分别为mA和mB；试求系统对O轴的动量矩。10－2rvmRvmJLBBAAOO解：对象：系统运动：如图方程：vBvA)(22rmRmJBAO第10章：习题解答10－310－3图示匀质细杆OA和EC的质量分别为50kg和100kg，并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，铰链O处的约束力和杆EC在A处的弯矩。不计铰链摩擦。解：令m=mOA=50kg，则mEC=2m,l=1m.lmmllmODd65322刚体作定轴转动，初瞬时ω=0lmglmgJO22222232)2(212131mlmllmmlJO即mglml2532#rad/s17.8652glglaD362565由质心运动定理：OyDFmgam33#4491211362533NmggmmgFOy#03nOxDFam质心D位置：FOxmg2mganDFOy对象：杆OA和EC整体受力：如图运动：如图方程：DaD第10章：习题解答10－810－8图示圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h时圆柱体中心A的速度v和绳子的拉力FT。1TFmgmaA2TrFαJA3raA4212mrJA#31TmgFgaA32解：对象：圆柱体受力：如图运动：如图方程：由平面运动微分方程解得#332ghvA建立运动学补充方程gdydvvdtdydydvdtdvaAAAAA32hvAAdygdvvA0032mgFTa第10章：习题解答10－1010－10图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为r，二者总质量为m′，其对与图面垂直的轴O的回转半径为。求：重物A的加速度。2TFrRFJO3TFFamO1TFmgmaA对象：轮；受力：如图运动：平面运动方程：由平面运动微分方程解：对象：对A;受力：如图;运动：如图；方程：由质点运动微分方程4)(,)(rRarRvAA62mJO联立，得#1)()()()()(2222222rRrmmgrRmrmrRmgaA5,rarvOO0,TTTTDDDmrFFJFFmgF绳HaHFTaOmgFNFTaA？？？？？？第10章：习题解答相对特殊瞬心的动量矩定理：一个刚体平面运动过程中，如果刚体的质心C到速度瞬心C*的距离保持不变时，则相对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于外力对同一点的主矩，即C*ed()dFCiCiLMt注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时CCLJvBvA相对特殊瞬心的动量矩定理10－1410－14图示匀质细杆AB质量为m，长为l，在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。qsin2lmgJP231mlJPACqPgmBFBAF#sin23qlg解（法1）：对象：杆AB受力：如图运动：平面运动方程：P为AB杆瞬心，根据相对速度瞬心的动量矩定理第10章：习题解答1BCFxm2mgFymAC3cos2sin2qqlFlFJBACqqcos2sin2lylxCCxqAF..Cy..CxACBBFgmOqqqqsin2cos2lylxCC4sin2sin2cos2cos2cos2sin222qqqqqqqqqqqqlllylllxCC法2：AB杆平面运动，由平面运动发微分方程，得到qq,0初瞬时将（4）代入（1）（2）（3），得10－14#2sin3lgqy第10章：习题解答作业中存在的问题1、标注运动量。2、使用的理论要交待。第11章：习题解答BA11－2图示滑块A重力为W1，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为W2、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为v1，杆AB的角速度为1。当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统的动能。解：AB杆作平面运动，以A点为基点，质心C的速度为由余弦定理则系统的动能v1vCAvCv1v11BAl11－2CACAACvvvvv1)2121(212122211CCBAJvgWvgWTTTcos41cos222180cos2112122111212112212vllvlvlvvvvvvCACAC]#cos31)[(211212]cos41[2211221222121212211212212211vlWlWvWWglgWlvllvgWvgW第11章：习题解答11－4图示一重物A质量为m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，其对O轴的回转半径为。试求重物A的加速度。11－4CBODRrA解：对象：滚子C、滑轮D、物块A所组成的刚体系统；受力：做功的物块A重力如图所示；运动：如图；方程：设系统在物块下降任意距离h时的动能222212212121CCCAJvmvmT由运动学知识rRvACrRrvrvACC22mJC2222212])([21AvrRrmmT力作的功ghmW112应用动能定理ghmvrRrmmA1222221])([21将上式对时间求导数hgmavrRrmmAA122221])([求得物块的加速度为#)()()(2222121rmrRmrRgmaA01TvACvCm1g化简，得第11章：习题解答11－5θABk11－5图示机构中，均质杆AB长为l，质量为2m，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当θ=0˚时，弹簧为原长。若机构在θ=60˚时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。0,601Tq2222*212121,ABCBAJmvmvTqq其中：ABAlvqsinABBlvqcos2231*mlJC22265ABmlT解：对象：系统；受力：略；运动：略；方程：v