理论力学第十二章 动能定理

§12-5势力场.势能.机械能守恒定律1.势力场势力场(保守力场):力的功只与力作用点的始、末位置有关,与路径无关.,,FFxyz力场:一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用.势力场中,物体所受的力为有势力.2.势能在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0,有势力所作的功为质点在点M相对于M0的势能.（1）重力场中的势能00dZZVmgzmgzz0220d2rrkVFr（2）弹性力场的势能0,0为零势能点则22kV00ddddMMxyzMMVFrFxFyFz0M称势能零点（3）万有引力场中的势能00122ddAArAAfmmVFrerrddrr由于有re112122111drrfmmVrfmmrrr取零势能点在无穷远1rrmfmV210diiMiiMVFr质点系00CCiiizzmgzzgmV重力场（4）质点系受到多个有势力作用质点系的零势能位置:各质点都处于其零势能点的一组位置.质点系的势能:质点系从某位置到其零势能位置的运动过程中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能.已知:均质杆l,m,弹簧刚度系数k,AB水平时平衡，弹簧变形为.0举例:求:杆有微小摆角时系统势能.重力以杆的水平位置为零势能位置,弹簧以自然位置O为零势能位置:222220112228lmgVklmgklkkmg20()0AMF解：02lklmg220122lVkmg如果弹簧取杆平衡位置B为零势能点:2212kl质点系在势力场中运动,有势力功为2112VVW对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的.22220001222lkllmg3.机械能守恒定律1212WTT质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此类系统称保守系统.2112VVW2211VTVT机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和.质点系仅在有势力作用下:非保守系统的机械能是不守恒的.2112TTVV已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s匀速下降，钢索k=3.35×N/m.610求:轮D突然卡住时，钢索的最大张力.例12-9分析：重物只受重力及钢索的弹性力作用，此系统机械能守恒。stmgk10V222maxmax2ststkVmg卡住前,钢索的伸长量：2112TmkN45.2mgkFst解:取I平衡位置为零势能点：20T卡住后，II处钢索张力达到最大，伸长量为max得ststg2max12maxmax1116.9ststkFkkmgggmkN0222max2maxstststg由有2211VTVT212m022max2ststkmgmxa02k两边乘stmgkstkmg22200011222kJJb取水平位置为零势能位置02220/Jkb已知：m,,k，水平位置平衡，OD=CD=b。初角速度为。OJ0求：角速度与角的关系。解:例12-10§12-6普遍定理的综合应用动量、动量矩动能矢量，有大小方向非负的标量，与方向无关内力不能使之改变只有外力能使之改变内力作功时可以改变动能理想约束不影响动能约束力是外力时对之有影响。不考虑能量的转化与损失。在保守系统中，机械能守恒当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点O或质心的主矩为零时系统对该点的动量矩守恒。动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。已知:均质圆轮m,r,R,纯滚动.求:轮心Ｃ的运动微分方程.例1ddsPmgmgtddsmgtdsindsmgt222113224CCCTmJm解:重力的功率dsindsmgtTPtdd（很小）22ddd,,,sindddCCssstttRr032dd22rRgstsd3d2sin4ddCCsmmgtt本题也可用机械能守恒定律求解.243,cos1CmTrRmgV0sin32dd22gts得0ddTVt已知:两均质轮m,R;物块m,ｋ,纯滚动,于弹簧原长处无初速释放.求：重物下降h时,v，a及滚轮与地面的摩擦力.例201T解:22222222111113222222TmmRmmRm222221khmghhkmghW将式（a）对t求导dd34ddhmmgkhtt12TTW（a）22232mkhmghmhkhmg322得mkhga343RFFRmRts221ddkhF2其中khmgmaFFS34621已知:l,m，地面光滑.求:杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力.例3cos2lCPCC解:成角时,01T22222cos311212121CCCmJmT22cos31121sin12CmlmglgglC3,321(a)CNmaFmg(b)1222mlJlFCN时0tnCACACAaaaa由tCCAaa、nACAaa、其中:铅直水平2laatCAC(c)由(a),(b),(c)得4mgFNAanCAatCAa已知:轮I:r,m1;轮III:r,m3;轮II:R=2r,m2;压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为20度,物块:mA;在轮I上作用有力偶M，摩擦力不计.求:O1,O2处的约束力.例4其中122,21,221112rmJrrOA22232211212121AAOOOmJJJT解:23322221,21rmJRmJOOMAWMmhdd利用2,2121raA其中d21drhTWtddrmmmmgrmMaAAA32144222M研究I轮rramMrrmMPAt112121ttnPPP364.020tan压力角为20rPMJtO11110OytFPmg110.364AOxMmraFr10OxnFP111AOyMmraFmgr研究物块A1TAAATAAFmgmaFmamg研究II轮02nxOPF210.364AOxMmraFr0322TtyOFgmmPF2231OyAAAMFmmmgrmma已知：m，R，k，CA=2R为弹簧原长，M为常力偶.求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力.例52222022RkRmgMW21TTW222343.0234kRRmgMmR2343.02kRRmgM01T解:22222243212121mRmRmRJTO45cosFRMJ21222232RRRkMmR2,CxCyaRaR223586.02mRkRM得OxOxmakRF586.0cos45CyOymaFmgFCyOymakRmgF586.0RMkRmg189.4043.1667.3kRMR196.032cos45CxOxmaFF已知：均质杆AB，l，m，初始铅直静止，无摩擦.求：1.B端未脱离墙时,摆至θ角位置时的,,FBx,FBy2.B端脱离瞬间的θ１3.杆着地时的vC及2例6cos13lgsin23lg2latC22lanC2211cos223lmlmg解:(1)2cos2sin343cossin2mgmgaammgFnCtCByCyBymamgF)2cos3(sin43)sincos(mgaammaFnCtCCxBx(2)脱离瞬间时0BxF12arccos3lglgcos131(3)脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时glvvCCx31cos1gllvC2121ABCCv杆着地时,AC水平CBCBvvv22CyCBlvv由铅直——水平全过程222211222CxCyClmgmvvJ01T12TTW式中221,,3212CxCyClmlvglvJ283gllgvCy3821glvvvCyCxC73122作业：P218：12-1常力作功12-4动能的计算12-12动能定理12-13功率方程