理论物理导论-李卫1-3章习题解答完整

第一章拉格朗日方程与哈密顿方程习题解答本章要求：1.熟练掌握自由度、约束和广义坐标基本概念2.熟练掌握拉格朗日方程的形式3.熟练掌握哈密顿方程的形式及其物理意义4.基本掌握应用拉格朗日方程和哈密顿方程解决力学问题1、玻尔的量子化条件为nL2、德布罗意关系为kpE,。3、用来解释光电效应的爱因斯坦公式为221mvAh。4、戴微孙-革末实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系为kpE,。填空：3.两个质量为m1、m2的质点固定于一长为R的轻杆两端，杆的质量可以忽略不计，这个系统在重力作用下，在一铅直面内运动，请分别用拉式方程和哈氏方程分析其运动。解:设杆在水平方向的位移为x，在竖直方向的位移为y.（1）拉式方程分析：）（2211ym-Ugymg)(21)(m21T2222221211yxmyx）（22112222221211m)(21)(m21U-TLgymgyyxmyx则有cossin1212RyyRxx，0yd0yd0d0d22112211yLLdtyLLdtxLxLdtxLxLdtgyyxx2121,0由拉式方程：解得：该系统在水平方向加速度为0，在竖直方向加速度为g.（2）哈氏方程分析：jsjjqp1LH22222221121122112222221211mm]m)(21)(m21-[ymxmyxgymgyyxmyx）（ppp1111HyHxHyx代入哈氏方程：可解得与（1）相同结果5.对本章1-3节所举的两个小球的振动，给出初始条件如下：0;00;{,02211xxxaxt试求a1，a2，δ1，δ2，并讨论两球各自的位移与时间的关系。)cos()cos()cos()cos(22211122221111twatwaxtwatwax解：代入初始条件：0;00;{,02211xxxaxt202121aaa解得：所以：)]cos()[cos(2)]cos()[cos(2212211twtwaxtwtwax第二章薛定谔方程习题解答本章要求：1．了解波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实，2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。深入理解波函数的概率解释。3．理解态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义．4．熟练掌握薛定谔方程的建立过程。深入了解定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相互关系。了解连续性方程的推导及其物理意义。第二章薛定谔方程本章要求：（二）一维势场中的粒子1．熟练掌握一维薛定谔方程边界条件的确定和处理方法。2．熟练掌握一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论，掌握一维有限深方势阱束缚态问题的求解方法。3．熟练掌握势垒贯穿的求解方法及隧道效应的解释。掌握一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法及共振现象的发生。4．熟练掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用。第二章薛定谔方程填空：1、波函数的标准条件为单值，连续，有限。2、2),,,(tzyx的物理意义：发现粒子的几率密度与之成正比。3、drrr22),,(表示在r—r+dr单位立体角的球壳内发现粒子的几率。1.一维运动粒子处于的状态，式中0，求（1）归一化因子A；（2）粒子的几率密度；（3）粒子出现在何处的几率最大？)0(0)0()(xxAxexx0222)()(dxexAdxxxx323232023202224!28)3(88AAAdeAdxexAx解：（1）x2令，则由归一化的定义1)()(dxxx得2/32A（2）粒子的几率密度xexxxxP2234)()()(（3）在极值点，由一阶导数0)(dxxdP可得方程0)1(2xexx而方程的根0xx/1x；；即为极值点。几率密度在极值点的值0)0(P0)(limxPx24)/1(eP；；24e/1x由于P(x)在区间(0，1/)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/，)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为，出现在处。tixAetx212122),(2.一维线性谐振子处于状态（1）求归一化因子A；（2）求谐振子坐标的平均值；x（3）求谐振子势能的平均值。dxeAdxx22202222dxeAx0222deA2A1dxA解：（1）由归一化的定义得dxxeAdxxxPxx222)(0x（2）因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故dxxPxUU)()(dxekxx222210222dxexkx0222dek0022221deek02221dek2212k24k（3）2k202141EUUTE0UEUET0021将、代入，可得是总能量的一半，由能量守恒定律可知动能平均值和势能平均值相等，也是总能量的一半。a)2/|(|,)2/|(|,0)(axaxxU2/||,6,4,2,sin2,5,3,1,cos2)(axnxananxanaxn,3,2,1,22222nnaEn3．设把宽为的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有试通过具体解定态方程，证明势阱中粒子的波函数为粒子的能量为2/||,0)(axx2/||)()(22axxEx0)(2)(2xEx222Ek0)()(2xkx证明：势函数与时间无关，是定态问题。由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外在阱内，波函数满足定态薛定谔方程上式可变形为令，则方程化为该方程的通解为kxBkxAxcossin)(0)(0)(2/2/axaxxx02cos2sin02cos2sinkaBkaAkaBkaA02cos02sinkaBkaA在边界上，波函数应满足连续性条件，即将通解代入有由此可得A和B不能同时为零，否则解无意义。0A,6,4,2,02sinnankkan0B,5,3,1,02cosnankkan，则必有，则必有,6,4,2,sin,5,3,1,cos)(nxanAnxanBxn1dxnn12/sin2/2/222aAdxxanAaa12/cos2/2/222aBdxxanBaa由此可得方程的解为由归一化条件可知aBA/2,6,4,2,sin2,5,3,1,cos2)(nxananxanaxn,3,2,1,22222222nnakEn解得故在阱内的波函数为粒子的能量波函数的两个表达式还可统一为一个表达式,3,2,1),2(sin2)(naxanaxnxqxxUE)2/()(22222221EqnEn21121),()(212EqxxxHeNxnxnn4．带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动，，试证明粒子的能量和波函数分别为)()(21)(2222xExxqxxuE)()(2)()2(21)(222242222222xExqxqxqxxuEEE证明：势函数与时间无关，是定态问题。定态薛定谔方程为上式可改写为)(2)(21)(22222222xqEqxxuEE21Eqxx2222EqEE)(21)(2121212xExxu)()(1211212xHeNxnxnn21nEn即作代换，则方程化为标准的一维谐振子方程其解为能量为代换回去得能量2222222212EEqnqEEn21121),()(212EqxxxHeNxnxnn12222)()(xqxqxdxxdUFEE0x2Eqx21Eqxx2Eq波函数我们看一下谐振子所受的力由F=0可知谐振子的平衡点不再是而是平移到作代换，无非是将坐标原点移到新的平衡点，移到新的平衡点后，与标准谐振子的力函数表达式完全相同。x0UE)(xUExU)(5．有一维势垒如下图所示，自由粒子沿方向向势垒运动，，求粒子的透射系数D。提示：写出表达式；令，解出积分限b；利用（2-104）式得D，并注意简化运算。解：axxaxaxUxU,0,00),/1()(02/302/3000000000000003240)(220220])/1([220])([220EUbaUEUUaxaUdxaUEUUadxxaUEUdxEaxUdxExUeDeDeDeDeDDbbbbbaUUabUE000)/1(000baUEU2/3003240EUUaeDD由可得故第三章力学量的算符习题解答1.掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。2．熟练掌握厄米算符的基本性质及相关的定理。3．熟练掌握坐标算符、动量算符以及角动量算符，包括定义式、相关的对易关系及本征值和本征数。4．熟练掌握力学量取值的概率及平均值的计算方法．理解两个力学量同时具有确定值的条件和共同本征函数。5．熟练掌握不确定度关系的形式、物理意义及其一些简单的应用。6．理解力学量平均值随时间变化的规律。掌握如何根据哈密顿算符来判断该体系的守恒量。填空：1、如两力学量算符有共同本征函数完全系，则0。设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__Fˆ__。2、在量子力学中，微观体系的状态被一个波函数完全描述；力学量用厄密算符表示。3、坐标和动量的测不准关系是_2xpx___________________________。自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为___在p—p+dp范围内发现粒子的几率_。4、厄密算符的本征函数具有正交，完备性。5、]ˆ,[xpxi；]ˆ,ˆ[zyLLxLi；2.一维线性谐振子处于能量算符的本征态),12(2)(222122xexx)()(ˆxExH求振子在此态的能量本征值。解：一维线性谐振子V（x）=1/2kx2。由)()(21)(222xExkxx得0,1,2n),(e(-1))(),(2)(2222x)(-x)(n21nnnnxnnxddexHxHenx其中解得当取n=2时，得到)12(2)(2221222xexx即题中所给的本征态。所以此时2,1,0,)21(nnEn25)212(2EEn3.解：氢原子电子势能rerU024)(oarear2130)(),,(势能平均