北大版高等数学第5章习题解答

1习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDABADACDBMAMACDBMAAMAC设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解ab.abababab2.,1().211221().2MABOOMOAOBOMOAAMOAABOAOBOAOAOB设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3MABCOOMOAOBOCOMOAAMOAADOAABACOAABACOMOBBABCOMOC设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CACBOMOAOBOCOMOAOBOC4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCDMOOMOAOBOCODOMOAAMOAABADOMOBBAADOMOCBADAOMODABDAOMOAOBOCOD设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OMOAOBOCOD22222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0,1.(3),6.0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,bc,abcbcaabababccababic=j.abc=j,bca=aibj,ababa,bc.,112211().22DEDAAEBAACBAACBC于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos|||||||||||||ACBDABBCBCCDABBCBCCDBCCDABACABABADABABABADaABADABACABACABAC利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()coscos.|||||||||||,.aACADABADADABADADaABADABACABACaAC与都是锐角故22222(2)||()()||||2||||.ACACACABBCABBCABBCABBCABBC2222222222222222228.()()||||.()()||||cos||||sin||||(cossin)||||.9..||.ABACABCABCABDCABAC证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解ababababababababab222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().给定向量记为即现设为任意向量证明证aaaaaaa.ab,:abababababababababaa+bb+ab+aa+bbab=ab32222222222211.,,:().:()||(||sin)||sin||.,对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22abababababa||ba||ba||babab.习题5.242222222221.(,,),,,,.,,,||,||,.2.(1,2,1),(3,0,1),(2,1,2),,,,(3,0,1)(1,2,1)(4,2xyzxyyzOxyzxyzOxyOyzdyzdxzdxydzdxdxyzABCABBAACBCAB写出点分别到轴轴轴平面平面以及原点的距离已知三点求的坐标与模.解解,0),||2025,|(4,2,0)(4,2,0)25,(2,1,2)(1,2,1)(3,1,1),||11,(2,1,2)(3,0,1)(1,1,1),||3.3.(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),132(9,6,6)2ABBAABACACBCBCabcab+c=1112(2,6,4)(4,3,1)(11,9,1).4.(2,5,1),(1,2,7),,.1(2,5,1),(1,2,7).36(2,5,)(1,2,7)(21,5,2,7),70,7.5.,(,,)(kkxykkkkkkkkkABxyzx设分别求出沿和方向的单位向量并求常数使与平面平行1=30设两点的坐标分别为和解abab,ababab22111222121212,,),,.111()((,,)(,,))(,,).2226.(1,2,3),(5,2,1),(1)23(2)(3)cos,.(1)2366(2)12.(2)1(3)cosyzABCOCOAOBxyzxyzxxyyzz求连线中点的坐标设求解解ababaiabab=ab=ai=.222221,,|||14301057.||1,||3,||2,|1763/3,?1763|()()||||||2()11942(3),233333,cos||||322设且求解abab|ababcab+c|=aca,b=b,c=ab+c|ab+cab+cabcab+bcacbcbcbc=b,c=bc..6b,c=522228.||2,||6,,()()||||4360,1/3.kkkkkkkk设试求常数使解aba+bab.a+babab9.(1,2,1),(1,1,3),(2,5,3)(1)(2)(3)()(4)()(5)().(1)121(5,2,1),113(2)253(3,0,2).010121(3)()11323.(4)()5212532解abcabcjabcabcabcijkab=ijkcj=ijkabc=abc=(1,13,21).53(5)113(12,9,7),()121(23,19,15).2531297ijkijkbc=abc10.,(2,1,0)(0,1,2),,.(2,1,0)(0,1,2)(2,0,2),(0,1,2)(2,1,0)(2,2,2).cos,|ABCDABADACBDACABADBDADABACBDACBDAC在平行四边形中求两对角线的夹角解00,,.2||||||||||5,,,.2ACBDBDACBDABADABCDACBD平行四边形为菱形故两对角线的夹角解二|11.(3,4,1),(2,3,0),(3,5,1),.(1,1,1)(1,1,1),(0,1,0),111(1,0,1),01012.2ABCABCABACABACABC已知三点求三角形的面积三角形的面积解ijk612.(3,4,5),(1,2,2)(9,14,16).345(,,)1220,,9141613.|1,||5,3,|.344cos,,sin,,|||||sin,154.||||555证明向量和是共面的因为故和是共面的.已知|求||证解abcabcabca=bab=abababababababab714.cos,cos,cos,,(1)cos0,cos0,cos0;(2)coscos0,cos0;(3)coscoscos.(1)(2)11arccosarccos.33115.||2,2xz设向量的方向余弦在下列各情况下指出的方向特征与轴垂直是沿轴的的向量.(3)与三个轴的夹角相等,都是或设,的三个方向角满足求的坐标解aa.a.aaaaa22222222cos21,(2cos1)1.1cos,2(21)1,4211,2(21)0,0,.2cos0,,(0,0,2).2113cos,cos,,.(1,1,0).244216.,(75)(3),(4)(72),coxxxxxxxxx设为两非零向量且求22解2cos2cos.aa=ab,abababab2222222222s,.(75)(3)0,7||15||16||||cos,0,(4)(72)0,7||8||30||||cos,0.||||1516cos,7,||||||||830cos,7.||||716730||1516||83解abababababab=ababababab=bbab=aabbab=aaba||1,1||0157871cos,.15162830baab习题5.381.:(1)5310(2)270(3)50(4)290(5)50(6)0.(1).(2).(3).(4).(5).(6).2.:(1)(1,5,1)(3,2,2);(2)(5,2,8);(3)xzxyzyyzxyxyOxzxzOyzyOxz指出下列平面位置的特点平行于轴过原点平行于平面过轴平行于轴平面求下列各平面的方程平行于轴且通过点和平行于平面且通过点垂直于平解451(2,7,3)(0,0,0);(4)(5,4,3)(2,1,8).(1)(0,1,0),(2,7,3),010(3,0,2).2733(1)2(1)0,3250.(2)2.(3)(1,4,5),(2,7,3),145(47,13,1).27347xyzOyzxzxzy面且通过点及垂直于平面且通过点及解ijkabnijkabn1310.(4)(1,0,0),(7,5,5),100(0,5,5)5(0,1,1).755(4)(3)0,70.xyyzyzijkabn3.(2,4,8),(3,1,5)(6,2,7).(5,3,3)(4,6,1).533(15,17,42),46115(2)17(4)42(8)0,1517422380.4.1,ABCxyzxyzyzaa求通过点及的平面方程设一平面在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5,-7,4),求此平面的方程.x5a解解a,bijkn=741,2,20.5.(2,1,2)(8,7,5),.(6,8,7).6(8)8(7)7(5)0,6871390.axyzaaABBABxyzxyza已知两点及求过且与线段垂直的平面解n9126.(2,0,3)22470,3250.224(0,16,8)8(0,2,1).2(3)0,30.3127.94230.0,420,1,2,20.2408.:380xyzxyzyzyzxxyzByCzBCBCyzxzllyz求过点且与垂直的平面方程求通过轴且与平面垂直的平面方程取求通过直线且与直线解解ijkn=0101240:.60102(6,1,3),110(1,1,1),031011613(2,9,7).0,4,8/3.1112(4)9(8/3)7()0,297320.383129.::1324xyyzzlyxyzxyzxtxyzllytz