分式方程应用题中考题集

1/29分式性质及运算【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）x1；（2）2x；（3）yxxy2；（4）33yx；（5）11－x；（6）1中，属于整式的有：；属于分式的有：。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1)例如，当x为时，分式322xxx有意义．错解：3x时原分式有意义．(2)不要随意用“或”与“且”。例如当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当x时，分式11－xx有意义．当x时，分式11－xx无意义．当x时，分式112－xx值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.(1)分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式．②在分式的基本性质中，M≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．(2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的是（）．A．ababcc;B．aabcbcC．ababababD．abababab2/29【例4】如果把分式52xxy中的,xy都扩大3倍,那么分式的值一定()．A.扩大3倍B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简222abaab的结果为（）A．baB．abaC．abaD．b（2）化简2244xyyxx的结果（）A．2xxB．2xxC．2yxD．2yx（3）化简62962xxx的结果是（）A．23xB．292xC．292xD．23x3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算aaaa31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11aaa（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11xxx，出现了这样的解题错误：原式=11xx．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．（4）最后的运算结果应化为最简分式．2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。2)异分母分式加减法则：运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为分母相同；③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简．4、分式的混合运算3/29注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.【例6】计算：（1）212242aaaa；（2）222xxx；（3）xxxxxx2421212（4）已知113xy，则代数式21422xxyyxxyy的值【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例1计算2312xxx+4222xxx2、分离整数技巧例2计算233322xxxx-657522xxxx-3412xx3、裂项相消技巧例3计算)1(1xx+)3)(1(2xx+)6)(3(3xx4、分组计算技巧例4计算21a+12a-12a-21a5、变形技巧例5已知x2-3x+1=0，求x2+21x的值。二、分式求值中的整体思想例1若分式73222yy的值为41，则21461yy的值为（）A、1B、-1C、-71D、51例2已知a1+b1=4，则babababa323434=。例3已知a2-3a+1=0，求142aa的值。4/29例4已知a1+b1=61，b1+c1=91，a1+c1=151，求bcacababc的值。例5有一道题：“先化简再求值：22x12x1)x1x1x1（，其中x=2008”，小明做题时把“x=2008”错抄成了“x=2008”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？例6已知x2-3x+1=0，求x2+21x的值。三、分式运算新型题例2请利用31m、3mm和932m这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式的商减去第三个分式的差,并化简.例3先化简代数式222aaa÷412a,然后选取一个合适．．的a值,代入求值.一、开放性问题例1在下列三个不为零的式子44,2,4222xxxxx中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是.分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.（1）xx,xxx22422；（2）2244422xx,xxx;（3）244222xx,xxxx；（4）24222xx,xxx;（5）2244422xx,xxx;(6)xx,xxxx224422.5/29二、探索运算程序例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）m平方-m÷m+2结果A．mB．m2C．m+1D．m-1三、自选数值求解例3化简2111xxxx，并选择你最喜欢的数代入求值．四、运算说理题例4在解题目：“当1949x时，求代数式2224421142xxxxxxx的值”时，聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.解：聪聪说的有理．2224421142xxxxxxx2(2)211(2)(2)(2)xxxxxxx111xx1∴只要使原式有意义，无论x取何值，原式的值都相同，为常数1．说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．11112211123231113434┅┅(1)计算111111223344556．（2）探究1111......122334(1)nn．（用含有n的式子表示）（3）若1111......133557(21)(21)nn的值为1735，求n的值．6/29【精练】计算：1．顺次相加法例1：计算：2．整体通分法【例2】计算：3．化简后通分4．巧用拆项法例4计算：.5．分组运算法例5：计算：二、经典例题透析类型一：分式及其基本性质1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）A.B.C.D.2．若分式的值等于零，则x＝_______；7/293．求分式的最简公分母。【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．－1B．0C．1D．±１（2）当x________时，分式没有意义．【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．类型二：分式的运算技巧(一)通分约分4．化简分式:【变式1】顺次相加法计算：【变式2】整体通分法计算：（二）裂项或拆项或分组运算5．巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧6．参数法已知，求的值．【变式1】整体代入法已知，求的值.8/29【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．类型四:解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧．（一）与异分母相关的分式方程7．解方程=【变式1】换元法解方程：32121xxx（二）与同分母相关的分式方程8．解方程3323xxx【变式1】解方程87178xxx【变式2】解方程125552xxx类型五：分式（方程）的应用9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式1】甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式2】A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度．【主要公式】1.同分母加减法则:0bcbcaaaa2.异分母加减法则:0,0bdbcdabcdaacacacacac;3.分式的乘法与除法:bdbdacac,bcbdbdadacac4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn9/297.负指数幂:a-p=1paa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,,,21,22，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx（3）122x（4）3||6xx（5）xx11题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（1）31xx（2）42||2xx（3）653222xxxx题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.练习：1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）3||61x（2）1)1(32xx（3）x1112．