陈天富材料力学第十一章 压杆的稳定性-修订版

第11章压杆的稳定性第11章压杆的稳定性§11.1压杆稳定的概念1稳定状态2不稳定状态3临界状态临界力PcrPPPP一细长压杆受压时的各种现象二细长压杆稳定的物理实质1P＜Pcr即m＜M稳定状态一对对立因素主动因素P2P＞Pcr即m＞M不稳定状态3P=Pcr即m=M临界状态受扰微弯时出现的使杆弯曲的外力矩和要使杆复直的内力矩何者处于优势的问题.优胜的一方决定压杆的状态.被动因素1EIM使杆复直内力矩PPPPPcrm=PeeEIM外力矩m=Pe使杆弯曲eM压杆的稳定与不稳定的实质是:1.两端铰支细长压杆的临界压力通解为y=Asinkx+BcoskxEIPyEIxMdxyd)(22则y“+k2y=0借用挠曲线近似微分方程Pcrm=PyyyxEIM§11.2两端铰支细长压杆的临界压力令EIPk2Pl状态临界M(x)=m=-Pyx=0时,y=0B=0x=l时,y=0Asinkl=0A≠0sinkl=0(n=0﹑1﹑2﹑3…)n=1临界压力与EIPk2lnknkl解出222lEInP22lEIPcry=AsinkxPcrm=PyyyxEIMPlPPAn=12.线形讨论y=Asinkx代入将lnk)sin(lxnAyAylxnmax1)sin(时当0'y令0)cos('lxnlnAy0)cos(lxn27,25,23,2lxnnlnlnlnlx27,25,23,20PPAn=1在l范围内在x0处ymax=An为正弦半波个数nlnlnlnlx27,25,23,2020lxn=143,40llxn=265,63,60lllxn=3PPAn=1n=3n=2§11.3其它支承条件下细长压杆的临界压力1.两端固定细长压杆在0.5l上有一个正弦半波.2.一端固定,另一端自由细长压杆在2l上有一个正弦半波.3.一端固定,另一端铰支细长压杆在0.7l上有一个正弦半波.P2minn22222)5.0(2lEIlEIPcr5.0minn22222)2(5.0lEIlEIPcr5.1minn22222)7.0(5.1lEIlEIPcrPlPP二欧拉公式及长度系数写成统一的形式称为欧拉公式长度系数两端铰支两端固定一端固定，另一端自由一端固定，另一端铰支μ10.520.7μl为相当长度22)(lEIPcr式中：为长度系数。与支承情况有关。min1n长度系数μ三构件约束形式的简化1.柱形铰约束xyxzxy平面简化两端铰支μ＝1xz平面简化两端固定μ＝0.5μ＝13.螺母和丝杆连接d0l05.100dl简化为固定铰300dl简化为固定端2.焊接或铆接简化为非完全铰μ＝0.735.100dlPl1Pl24.千斤顶μ＝25.工作台μ＝16.弹性支承PPPμ＝2Pμ＝0.7P弹簧刚度：C＝0μ＝2C＝∞μ＝0.7C＝0－∞μ＝2－0.7P§11.4欧拉公式适用范围•经验公式一细长压杆临界应力细长压杆临界应力其中A为未削弱的横截面面积。柔度集中反应了压杆的长度，约束条件，截面形状和尺寸等因素。是压杆计算中的重要参量。细长压杆临界应力计算公式也称为欧拉公式.为AlEIAPcrcr22)(AIi把代入上式22)(ilEcril令称为柔度或者长细比。22Ecr二欧拉公式的适用范围在λ－σ座标下，其图象为欧拉双曲线。0σσpλλ1σp对应的柔度为欧拉公式的适用范围为如A3钢E=206GPa,σp=200MPa22EcrpcrpcrE22即pE2pE21σcr≤σp110010200102066921三中、小柔度杆临界应力及适用范围1中柔度杆临界应力及适用范围0σσsσpλλ1λ2中柔度杆：发生弹塑性失稳的压杆。直线公式（经验公式）式中a、b为材料的有关实验常数。中柔度杆临界应力公式的适用范围σcr≤σs即σcr=a-bλ≤σsσs对应的柔度为σcr≤σsλ2≤λ≤λ12小柔度杆临界应力及适用范围λ≤λ2临界应力总图σcr=a-bλσcr=σsbacrbas2ScrAP22Ecr结论:压杆为低应力破坏已知：A3钢压杆，l=1m,A=80mm2,σs=240MPa,E=210GPa,b=8mm,h=10mm.求：Ps和Pcr，并比较Plbh解：（1）用强度观点计算PsPs=σsA=19.2kN（2）用稳定观点计算Pcrμ=1(3)比较Ps:Pcr=19.2:0.885=21.7:14103min1027.412mhbImAIi3min1031.21433ilkNlEIPcr885.022结论:空心杆抗失稳能力强已知：A3钢压杆两端铰支，D1=10mm,d1=7mm,l=351mm,E=210GPa.求：（1）压杆的临界应力；（2）若采用面积相同的实心杆两者临界应力之比。Pld1D1D解：（1）空心压杆的临界应力（2）实心压杆的临界应力(3)比较σcr1：σcr＝157：53＝2.96：1mmdDAIi05.342121111115ilMPaEcr1572214)(421212dDDmmdDD14.72121mmDi78.141197ilMPaEcr5322§11.5压杆的稳定校核一稳定的许用应力和稳定条件稳定的许用应力稳定条件或者式中n－－工作稳定安全系数nst－－规定的稳定安全系数stcrstn][][stAPstcrnnstcrnPPn1规定的稳定安全系数nst取得比强度安全系数大，原因是：（1）压杆的不可避免的影响因素。（2）失稳的突然性，造成灾害的严重性。2对有局部削弱的压杆（1）进行稳定计算不考虑削弱面。（整体）（2）对削弱面进行进行强度计算。（局部）注：二稳定校核步骤2由λmax.确定压杆计算公式，求σcr或Pcr。3稳定校核stcrcrnPPnil1计算确定最大柔度λmax。例3约束不同不一定在最大刚度平面内失稳。已知：连杆材料为35钢,P=60kN,nst=4,l1=800mm,l2=770mm.b=20mm,h=45mm.求：校核连杆的稳定性。解：1计算柔度0xy平面μ=10xz平面μ=0.5λmax=λy=66.7PPxl1l2xyzyzyzhbbhmmhbhbhAIizz99.12321236.611zzilmmbbhhbAIiyy77.5321237.662yyil2计算临界应力查表35钢λ1＝100，λ2＝60λ1λyλ2为中柔度杆σcr=a–bλ=290MPa查表a=461MPa,b=2.568MPa3稳定校核压杆工作应力压杆稳定MPaAP7.66435.47.66290stcrnnPPxl1l2xyzyzyzhbbh例带削弱截面的压杆已知：两端铰支压杆，l=2.4m,由两根∟125×125×12等边角钢组成,铆钉孔直径d=30mm,P=50kN,材料为A3钢，[σ]=160MPa,nst=2.5。求：校核压杆是否安全？解：1稳定校核A=2A1A1＝28.9×10－4m2—一根角钢的面积查表i=i1=iy=3.83cmyPdzxy1111122iAIAIAIiyyy7.62il12yyII—一根角钢的惯性矩1yI查表a=304,b=1.12为中柔度杆σcr=a-bλ=234MPa稳定2强度校核A净＝2A1-2dx1.2=56.6cm2强度足够6.612baskNAPcrcr5.13525.27.25005.1352stcrnPPnMPaAP8.98净yPdzxy作业11.1011.1511.21