通信原理第三章 随机信号分析36

1、1第三章随机信号2学习目标随机过程的基本概念;随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）;随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、维纳－辛钦定理;高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正态分布函数，高斯白噪声;平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值、自相关函数和功率谱密度、带限白噪声;窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其同相分量、正交分量的统计特性；余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性匹配滤波器循环平稳随机过程33.1引言自然界中事物的变化过程大致分成为两类：确定性过程：其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间（t）的确定函数来描述。随机过程：该过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。4通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。随机过程：设Sk(k=1,2,…)是随机。

2、试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作X(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图所示：5x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2SnX(t)tk图2-1样本函数的总体6随机过程X(t)具有两个基本特征：（1）X(t)是时间t的函数；（2）在某一观察时刻t1，样本的取值X(t1)是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。73.2随机过程的统计（概率）特性设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。把随机变量X(t1)小于或等于某一数值x1的概率P[X(t1)≤x1]，简记为F1(x1,t1)，即F1(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］上式称为随机过程X(t)的一维分布函数。1、随机过程的分布函数和概率密度：随机过程的统计性质可以由其分布函数和概率密度来描述81。

3、11111(,)(,)Fxtpxtx则称p(x1,t1)为X(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量X(t1)和X(t2)构成一个二元随机变量{X(t1),X(t2)}，称F2(x1,x2,t1,t2)=P｛X(t1)≤x1,X(t2)≤x2｝为随机过程X(t)的二维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在92122121212F(x,x,t,t)p(x,x,t,t)xx则称为X(t)的二维概率密度函数。1212121212n,nnnnFx,x...,tt...,tpx,x...,x,t,t...,txx...x,如果存在:21212f(x,x,t,t)12121122nnnnnFx,x,x,t,t,tPXtx,Xtx,XtxX(t)的n维概率密度:同理，X(t)的n维分布函数:10如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数或概率密度，即n越大，对。

4、随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。112、随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性，但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。（1）数学期望（均值）EXtxpx,tdx（2）方差2222222XXXXDXtEX(t)EX(t)xmtpx,tdxxpx,tdxmtExmtt标准差12均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。13和等于0，则称X(t1)，X(t2)不相关。（3）自相关函数121212121212XEXtXtRt,txxpx,x,t,tdxdx（4）自协方差函数。

5、12112211221212121212XXXXXXXXCt,tEXtmtXtmtxmtxmtpx,x,t,tdxdxRt,tmtmt12XCt,t（5）归一化协方差函数121212XXXXCt,tt,ttt12Xt,t12XCt,t12Xt,t143、两随机过程的联合分布函数和数字特征X(t)和Y(t)是两个随机过程（1）联合分布函数和概率密度1212121211221122n,mnnnnnnmmFx,x,x,t,t,t;y,y,y,t',t',t'PXtx,Xtx,Xtx;Yt'y,Yt'y,Yt'y12121212121212121212n,mnnnnnmn,mnnnnFx,x,x,t,t,t;y,y,y,t',t',t'xxxyyypx,x,x,t,t,t;y,y,y,t',t',t'15n,mnmn,mnmFFF,ppp或者若X(t)和Y(t)是两个相互独立随机过程,则上式是X(t)和Y(t)是两。

6、个相互独立的充要条件1212212XYRt,tEXtYtxypx,t,y,tdxdy（2）两个随机过程的数字特征互相关函数：互协方差函数：1211221212XYXYXYXYCt,tEXtmtYtmtRt,tmtmt互协方差函数＝0，则X(t)和Y(t)不相关X(t)和Y(t)独立与不相关的关系？独立，必不相关，反之，未必！正态随机过程，独立与不相关等价163.3平稳随机过程1、严(狭义)平稳随机过程定义随机过程X(t),若对于任意n和任意选定t1,t2,…,tn,以及任意的，有pn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=pn(x1,x2,…,xn;t1+,t2+,…,tn+）定义说明:当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维概率密度函数或分布函数是不变的，具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔τ有关，即：平稳随机过程是在通信系统中占重要地位的一种特殊而又广泛应用的随机过程。1111121211212px,tpx,px,x,t。

7、,tpx,x,172、宽(广义)平稳随机过程(定义):若X(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔有关，则称X(t)为宽(广义)平稳随机过程不加特殊说明，平稳过程均指宽平稳18注意：通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。193、联合宽平稳随机过程XYXYRt,tEXtYtR若X(t)，Y(t)是平稳随机过程，且则称X(t)，Y(t)是联合宽平稳随机过程。205、平稳随机过程相关函数的性质条件：X(t)是实平稳随机过程。210XREXt若X(t)是电流或电压，则X2(t)是它在1欧姆电阻上的瞬时功率(t时刻)，而RX(0)是其统计平均功率(与t无关)。(4)若X(t)=X(t+T)，即为周期是T的随机过程XXRRT2XXRR30XXRR(5)一般当|τ|→∞，X(t)与X(t+τ)相互独立，所以2XlimREXt。

8、222X60XXEXtEXtRR＝－X(t)的直流功率X(t)的交流功率若均值为0，则方差＝？216、各态历经性（遍历性）有种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程X(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为221T/T/Tx(t)x(t)dtTlim221T/T/Tx(t)x(t)x(t)x(t)dtTlim22如果：11XPR()x(t)x(t)PEX(t)x(t)宽遍历随机过程：若X(t)的均值和自相关均为遍历的，则称X(t)为宽遍历随机过程。则称该平稳随机过程具有各态历经性。均值遍历过程自相关遍历过程如果不加特别说明，遍历过程即宽遍历过程。本章仅限于研究宽遍历过程。遍历过程必定是平稳过程,平稳过程不一定是遍历过程23强调：对于遍历过程，只要根据其一个样函数，便可得到其数字特征。若X(t)是平稳高斯过程，且0EXtRd则X(t)是遍历过程。2。

9、47、平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为傅立叶变换，即：XxRPf著名的维纳－辛钦定理！！！258、平稳随机过程功率谱密度的性质10XPf220XXREXtPfdf30XXPRd(4)若X(t)是实平稳随机过程，则RX(τ)和PX(f)均为偶函数。2000XXPffGff是X(t)在1Ω电阻上的平均功率单边功率谱定义：26例3.3.110220p其它12XXX(t)Rt,tPf求的和。并判断是否是广义平稳？已知X(t)＝sin(ω0t+θ)，其中ω0为常数，θ为均匀分布的随机变量，其概率密度为：270cos21sinsin21coscossinsincoscossinsincossin)]([)(20020000000dtdttEtEttEtEtX。

10、EtmXX(t)的自相关函数为：121201020210210210(,)[()()][sinsin]1[coscos2211cos0cos22RttEXtXtEttEtttttt解：先考察是否是宽平稳过程，条件？结论：宽平稳！00011cos2()()24XXfRPfffff283.4高斯随机过程（正态）1.定义：若一随机过程的任意n维（n=1,2,…）概率密度都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。公式见P41。为方差为数学期望，2221a]2)(exp[21axxp2.性质：（1）高斯过程的宽平稳和严平稳是一致的。（2）对于正态随机过程的任何两个时刻的随机变量，不相关也就是统计独立。3.一维正态分布：一维正态概率密度表示式：29p(x)120ax一维正态概率密度曲线30一维正态概率密度性质：(2)p(x)对称于x=a21)()(1aadxxpdxxp）（说明：a表示分布中心，σ表示集中程度，p(x)图形将随着σ的减小而变高和变。