通信原理第三章课件

1第3章随机过程23.1随机过程的基本概念什么是随机过程？角度1：随机变量概念的延伸。随机变量以时间为参变量随机过程固定某一时刻(t1)(t)3随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。随机过程可看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。角度1：随机变量概念的延伸。角度2：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。4【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形每一噪声波形i(t)：是确定的时间函数，称为随机过程的一次实现，随机过程的一个样本函数。()tt012()()()nttt角度2：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。5每一个样本函数i(t)都是一个确定的时间函数，但是出现哪个不可预知的。随机过程：(t)={1(t),2(t),…,n(t)}，是全部样本函数（所有可能的实现）的集合。6随机过程从统计观点统计特性概率分布函数数字特征73.1.1随机过程的分布函数设(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值(t1)随机过程(t)的一维分布函数：若偏导存在，随机过程(t)的一维概率密度函数：])([),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf8随机过程(t)的二维分布函数：若偏导存在，随机过程(t)的二维概率密度函数：221121212)(,)(),,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf9随机过程(t)的n维分布函数：随机过程(t)的n维概率密度函数：nnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,,)(,)(),,;,,,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，，，；，，，，，，；，，，103.1.2随机过程的数字特征均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x，dxtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE11(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:dxtxxftE),()(1()tt012()()()nttta(t)12方差是时间的确定函数，记为2(t)。表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。2)]()([)]([tatEtD)()]([)(2)]([2222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξEtξD212)]([),(tadxtxfx均方值均值平方13相关函数协方差函数2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR21212122211221121),;,()]()][([])()()][()([),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB是t1和t2的确定函数，表示随机过程在不同瞬间的内在联系。14相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)互相关函数：(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。)()(),(),(212121tatattRttB)]()([),(2121ttEttR153.2平稳随机过程3.2.1平稳随机过程的定义定义：若一个随机过程(t)对于任意的正整数n和所有实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程。),,,,,,(),,,,,,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；；16性质：平稳随机过程的一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关：)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf17数字特征：（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。广义平稳过程：同时满足（1）和（2）的过程。严平稳必定广义平稳，反之不一定成立。adxxfxtE1111)()()();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR183.2.2各态历经性问题：随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。能否从一次试验得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。19“各态历经”的含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别为：2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa20如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。)()(RRaa21[例3-1]设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望)cos()(tAtc2021)cos()]([)(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0]sinsincos[cos22020dtdtAcc22自相关函数令t2–t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。0)(cos221]2)(cos[2)(cos2]}2)(cos[)({cos2)]cos()cos([)]()([),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc23(2)求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22])(cos[)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222})22cos(cos{2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa243.2.3平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的性质—(t)的平均功率—的偶函数—R()的上界—(t)的直流功率表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有R(0)=2。)]([)0(2tER)()(RR)0()(RR22a)]([)(tER2)()0(RR253.2.4平稳过程的功率谱密度定义：对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为式中，FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数TfFmilfPTTf2)()(t02T2T()ft()Tft26把f(t)当作是随机过程(t)的一个样本；过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故(t)的功率谱密度可以定义为TfFEmilfPEfPTTf2)()()(27维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为称为维纳-辛钦关系。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR28对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即有和这与R()的实偶性相对应。0)(fPdffPR)()0()()(fPfP29各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为是各态历经过程两边取傅里叶变换：)()(RR])([)]([RRFF)()(fPfPf30[例3-2]求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。【解】已求出其相关函数为因为所以，功率谱密度为平均功率为cARcos2)(2)()(PR)]()([cosccc)]()([2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS313.3高斯随机过程（正态随机过程）3.3.1定义如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式为：式中njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121))((21exp...)2(1),...,,,...,,(；22])([)],([kkkkkatEtEa32式中|B|－归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk－行列式|B|中元素bjk的代数余因子bjk－为归一化协方差函数，即11121221112nnnnbbbbbbBkjkkjjjkatatEb]})(][)({[333.3.2主要性质高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。34即对所有jk，有bjk=0，则其概率密度可以简化为高斯过程通过线性变换后仍是高斯过程。),...,,;,...,,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk]2)(exp[21),(),(),(2211nntxftxftxf353.3.3高斯随机变量定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为221()()exp22xafx12xao()fx36性质f(x)对称于直线x=a，即a表示分布中心，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0和=1时，称为标准化的正态分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21()exp22xfx21xao()fx37正态分布函数用误差函数表示：令则有式中－误差函数，可以查表求出其值。221()()()exp22xzaFxPxdz2/)(aztdtdz22()/2()22121122xatFxedtxaerfσ202()xterfxedt38用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中当x2时，2211)(axerfcxF22()1()txerfcxerfxedt21()xerfcxex39用