通信原理第六版(樊昌信)第3章 随机过程

第3章随机过程1第3章随机过程3.1随机过程的基本概念什么是随机过程？随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形样本函数i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程：(t)={1(t),2(t),…,n(t)}是全部样本函数的集合。角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i(t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一个随机变量，记为(t1)。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。3.1.1随机过程的分布函数设(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。随机过程(t)的一维分布函数：()tt012()()()nttt])([),(11111xtPtxF第3章随机过程2随机过程(t)的一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。随机过程(t)的二维分布函数：随机过程(t)的二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。随机过程(t)的n维分布函数：随机过程(t)的n维概率密度函数：3.1.2随机过程的数字特征均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值式中f(x1,t1)－(t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把t1直接写为t，x1改为x，这样上式就变为1111111),(),(xtxFtxf221121212)(,)(),,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,,)(,)(),,;,,,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，，，；，，，，，，；，，，111111),()(dxtxfxtEdxtxxftE),()(1第3章随机过程3(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:方差方差常记为2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。()tt012()()()nttta(t)（（(t)2)]()([)]([tatEtD)()]([)(2)]([2222222tatξEtatξEtatξEtatξtatξEtξD212)]([),(tadxtxfx均方值均值平方第3章随机过程4相关函数式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数式中a(t1)a(t2)－在t1和t2时刻得到的(t)的均值f2(x1,x2;t1,t2)－(t)的二维概率密度函数。相关函数和协方差函数之间的关系若a(t1)=a(t2)，则B(t1,t2)=R(t1,t2)互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。3.2平稳随机过程3.2.1平稳随机过程的定义定义：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR21212122211221121),;,()]()][([])()()][()([),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB)()(),(),(212121tatattRttB)]()([),(2121ttEttR),,,,,,(),,,,,,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；；第3章随机过程5性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：而二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关：数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。3.2.2各态历经性问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf)();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttRadxxfxtE1111)()(adxxfxtE1111)()()();,()]()([),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR第3章随机过程6机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。下面，我们来讨论各态历经性的条件。各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。[例3-1]设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa)cos()(tAtc第3章随机过程7【解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望自相关函数令t2–t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。(2)求(t)的时间平均值2021)cos()]([)(dtAtEtac0]sinsincos[cos22020dtdtAcc20)sinsincos(cos2dttAcc0)(cos221]2)(cos[2)(cos2]}2)(cos[)({cos2)]cos()cos([)]()([),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc220)cos(1limTTcTdttATa第3章随机过程8比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。3.2.3平稳过程的自相关函数平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的性质—(t)的平均功率—的偶函数—R()的上界即自相关函数R()在=0有最大值。—(t)的直流功率表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有R(0)=2。3.2.4平稳过程的功率谱密度定义：对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为22])(cos[)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222})22cos(cos{2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa)]([)0(2tER)()(RR)0()(RR22a)]([)(tER2)()0(RR第3章随机过程9式中，FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数对于平稳随机过程(t)，可以把f(t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故(t)的功率谱密度可以定义为功率谱密度的计算维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。TfFmilfPTTf2)()(t02T2T()ft()TftTfFEmilfPEfPTTf2)()()(dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR第3章随机过程10在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论：对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即两边取傅里叶变换：即式中功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即有和这与R()的实偶性相对应。[例3-2]求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。【解】在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有以及由于有所以，功率谱密度为dffPR)()0()()(RR])([)]([RRFF)()(fPfPf)()(fPR)(RfPf0)(fP)()(fPfPcARcos2)(2)()(PR)]()([cosccc)]()([2)(2ccAP第3章随机过程11平均功率为3.3高斯随机过程（正态随机过程）3.3.1定义如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式为：式中式中|B|－归一化协方差矩阵的行列式