第五节 Fourier变换与Laplace变换的 应用

第五节Fourier变换与Laplace变换的应用求解微分方程的积分变换法求解积分方程和卷积型方程利用积分变换计算积分值一、求解微分方程的积分变换法微分方程积分变换像函数代数方程求解代数方程像函数原像（微分方程的解）积分逆变换求微分方程的解0023|0'|1-tttyy'-yeyy求方程满足初始条件，的解。例1解:[()]()ytYs设，L变换得：对原方程两边作Laplace)]0(')0()([2ysysYs)]0()([yssY)(3sY11s代入初始条件得，11)(3)(2]1)([2ssYssYsYs，解出)(sY)3)(1)(1(2)(sssssY逆变换得：作Laplace3,)3)(1)(1()2(Res1,)3)(1)(1()2(Res1,)3)(1)(1()2(Res)(sssessssessssestystststttteee3818341的解。满足初始条件求方程组0)0(')0(0)0(')0('222'xxyytxyxyeyxxyt例2[()]()[()]()ytYsxtXs设，，LL，变换，并利用初始条件对原方程组两边作Laplace解:1)()(2)()(2211)()()()(22222ssXssYsXssYssssYssXsXssYs)1(1)()1(12)(222sssYssssX的代数方程，、解此关于)()(sYsX逆变换得：作Laplace()()(1)()()[1(1)]ttxtutteytutet二、求解积分方程和卷积型方程1、求解积分－微分方程的积分变换法()RLCEit在电路中串接直流电源，求开关闭合后回路电流。例3解:根据基尔霍夫定律，LRCUUUE0()1()()tRLCditURitULUitdtdtC其中，，，(0)0i当开关刚闭合时，0)0()()()(1)(0iEdttdiLtRidttiCtit的方程综合以上可得关于Laplace[()]()itIs对于以上这个积分－微分方程，两边取变换，设LsEissILsRIsICs)]0()([)()(1CRsLsELsRCsE/ssI11)(2解得则的根为＝逆，设方程的为求,,01Laplace)(212rrCRsLssILCLRLRLCLRRr142242222,1可表示为，则)(sI))(()(21rsrsLEsI,21rr若221121,))((Res,))((Res)(rrsrseLErrsrseLEtistst122121rrerreLEtrtr)()(2121trtreerrLE,21rr若LRrrr221则rrseLEtist,)(Res)(2)(stedsdLEtreLEttLReLEt22、求解卷积型方程的积分变换法0(1)()()()(),(0)xfxbxfdgxx变换，，采用的变化范围是由于Laplace),0(x)0(),()(*)()(xxgxfxbxf写成卷积形式为：)()(*)()(sGsFsBsF)(1)()(sBsGsF解得1()()1()-GsftBs因此L(2)()()()(),()fxbxfdgxx)(),()(*)()(xxgxfxbxf写成卷积形式为：变换，，采用的变化范围是由于Fourier),(x)()(*)()(wGwFwBwF)(1)()(wBwGwF解得1()()1()-GwftBw因此F2222222(1)[],(0)(2)()()1(,0)()ataeawayxyuduxbaxuaxb证明求解关于的积分方程F例4解:(1)jwajwaawa112221[()]atuteajw已知，F11[()]atuteajw由相似性质（相似系数取为），F则，1222[]awa－F1111[][]ajwajw－－FFtataetuetu)()(tae(2)，即将原方程写成卷积形式222211*)(bxaxxy变换后有程两边做由傅氏卷积定理，对方Fourier222211()YwxaxbFF由对称性质，22221122aaxaxaFFwaea221waea同样，221bwebxbFwbwaebeawY)(故，()()bawaYweb()1()[]bawayxebF()1[]bawab-aebbaF22)(1)(abxbb-aa逆，得求Fourier0()()3sin2()cos()(0)tytyttytdt求解关于的积分方程例50sindttt算积分利用积分变换的方法计例6解21[sin]1tsLsin[]ttLtgstgsdssssarc2arc11|2000sinsindtettdtttt2)arc2(|0stgs三、利用积分变换计算积分值023sintdttet计算积分例7解21[sin3],9tsL22216[sin3]()9(9)dsttdsssL故202sin3[sin3]|tstetdtttL16912)9(6|222sss022sincosd计算积分例8解ddwweejweejwtjwtjwtjwt22)(2)(221dwwejwejwjwtjwt22))()(41dwjwedwjwejwtjwt41，则若令ww1111dwjwedwjwetjwjwt故dwjwed21sincos022dwjwejwt21111[]2jwFtetu)(处需作处理，故的间断点积分定理，在按照0)(Fouriertetut00,0,20,sincos022ttted