第2章 2.5 逆z变换和留数法

第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5序列的z变换•2.5.1Z变换的定义•2.5.2几种序列的Z变换及其收敛域•2.5.3逆Z变换•2.5.4Z变换的性质和定理•2.5.5序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系右边序列收敛域：xRz因果序列收敛域：xRz0xzR左边序列收敛域：双边序列收敛域：xxRzR0z有限长序列收敛域:0()nnxnz0()nnxnzRe[]zIm[]jzzRe[]zIm[]jzz第2章时域离散信号和系统的频域分析2.5序列的z变换•2.5.1Z变换的定义•2.5.2几种序列的Z变换及其收敛域•2.5.3逆Z变换•2.5.4Z变换的性质和定理•2.5.5序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系2.5.3逆Z变换一、定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。1()[()]xnZXz记作：1()(),1()(),(,)2nxxnnxxcXzxnzRzRxnXzzdzcRRj正：反：Im[]jzRe[]zxRxRz变换公式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c由留数定理可知：111()Re[()]2knnzzckXzzdzsXzzj为c内的第k个极点，Res[]表示极点处的留数。kz二、留数法求Z反变换零点和极点：常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。()()()PzXzQz由留数定理可知：111()Re[()]2knnzzckXzzdzsXzzj为c内的第k个极点，Res[]表示极点处的留数。kz二、留数法求Z反变换零点和极点：11()()()()()()nnPzPzFzXzzzQzQz111()Re[()]2Re[(),](2.5.6)kknnzzckkzzkXzzdzsXzzjsFzzRe[(),]()()kkkzzkzzsFzzzzFz111Re[(),][()()]1!kkmmkzzkzzmdsFzzzzFzNdz由留数辅助定理可知：11111()Re[()]21()Re[()]2kmnnzzcknnzzcmXzzdzsXzzjXzzdzsXzzj为c内的第k个极点，为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。mzkzRe[()]Re[()](2.5.9)kmzzzzkmsFzsFz为c内的第k个极点，为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。mzkzF(z)的分母z阶次比分子阶次高二阶和二阶以上。例题:请看版书例3-5已知解:1）当n≥-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此21(),414(4)()4zXzzzz11()1(4)()4nnzXzzzz1nz14rz11411()Re[/(4)()]41()144,111544nznnxnszzzn，求z反变换。2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点:14121()Re[/(4)()]41(4)4,211544nznnxnszzzn214,115()14,215nnnxnn因此