高等数学练习答案-总习题九

总习题九1选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论(1)设有空间闭区域1{(xyz)|x2y2z2R2z0}2{(xyz)|x2y2z2R2x0y0z0}则有________(A)xdvxdv214(B)ydvydv214(C)zdvzdv214(D)xyzdvxyzdv214解(C)提示f(xyz)x是关于x的奇函数它在关于yOz平面对称的区域1上的三重积分为零而在2上的三重积分不为零所以(A)是错的类似地(B)和(D)也是错的f(xyz)z是关于x和y的偶函数它关于yOz平面和zOx面都对称的区域1上的三重积分可以化为1在第一卦部分2上的三重积分的四倍(2)设有平面闭区域D{(xy)|axaxya}D1{(xy)|0xaxya}则dxdyyxxyD)sincos(________(A)ydxdyxDsincos21(B)xydxdyD12(C)ydxdyxDsincos41(D)0解(A)2计算下列二重积分(1)ydxDsin)1(其中D是顶点分别为(00)(10)(12)和(01)的梯形闭区域解积分区域可表示为D{(xy)|0x10yx1}于是101010)]1cos(1)[1(sin)1(sin)1(dxxxydydxxydxxD2sin22cos1sin1cos23(2)dyxD)(22其中D{(xy)|0ysinx0x}解032sin022022)sin31sin()()(dxxxxdyyxdxdyxxD9402(3)dyxRD222其中D是圆周x2y2Rx所围成的闭区域解在极坐标下积分区域D可表示为cos0,22R于是ddRdyxRDD2222222cos02322cos02222])(31[dRdRdrR320332233)43(91)sin1(32|)sin|1(3RdRdR(4)dyxyD)963(2其中D{(xy)|x2y2R2}解因为积分区域D关于x轴、y轴对称所以063ydxdDD2999RddDD因为dyxdxdyDDD)(212222所以dyxRdyxyDD)(219)963(2222420220249219RRddRR3交换下列二次积分的次序(1))4(21440),(yydxyxfdy解积分区域为)}4(214,40|),{(yxyyyxD并且D又可表示为D{(xy)|2x02x4yx24}所以44202)4(214402),(),(xxyydyyxfdxdxyxfdy(2)yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(解积分区域为D{(xy)|0y10x2y}{(xy)|1y30x3y}并且D又可表示为}321,20|),{(xyxxyxD所以xxyydyyxfdxdxyxfdydxyxfdy3212030312010),(),(),((3)21110),(xxdyyxfdx解积分区域为}11,10|),{(2xyxxyxD并且D又可表示为}20,21|),{(}0,10|),{(22yyxyyxyxyyxD所以22220210101110),(),(),(yyyxxdxyxfdydxyxfdydyyxfdx4证明axamyxamadxxfexadxxfedy0)(0)(0)()()(证明积分区域为D{(xy)|0ya0xy}并且D又可表示为D{(xy)|0xaxya}所以axamaxxamayxamadxxfexadyxfedxdxxfedy0)()(00)(0)()()()(5把积分dxdyyxfD),(表为极坐标形式的二次积分其中积分区域D{(xy)|x2y11x1}解在极坐标下积分区域可表示为DD1D2D3其中sectan0,40:1Dcsc0,434:2Dsectan0,43:3D所以sectan040)sin,cos(),(dfddxdyyxfDcsc0434)sin,cos(dfdsectan043)sin,cos(dfd6把积分dxdydzzyxf),,(化为三次积分其中积分区域是由曲面zx2y2yx2及平面y1z0所围成的闭区域解积分区域可表示为0zx2y2x2y11x1所以2220111),,(),,(yxxdzzyxfdydxdxdydzzyxf7计算下列三重积分(1)dxdydzz2其中是两个球x2y2z2R2和x2y2z22Rz(R0)的公共部分解两球面的公共部分在xOy面上的投影222)23(Ryx在柱面坐标下积分区域可表示为2222,230,20:RRzRRR所以22222230202RRRRdzzdddxdydzz5230322232248059])()[(312RdRRRR(2)dvzyxzyxz1)1ln(222222其中是由球面x2y2z21所围成的闭区域解因为积分区域关于xOy面对称而被积函数为关于z的奇函数所以01)1ln(222222dvzyxzyxz(3)dvzy)(22其中是由xOy面上曲线y22x绕x轴旋转而成的曲面与平面x5所围成的闭区域解曲线y22x绕x轴旋转而成的曲面的方程为y2z22x由曲面y2z22x和平面x5所围成的闭区域在yOz面上的投影区域为222)10(:zyDyz在柱面坐标下此区域又可表示为521,100,20:2xDyz所以521210020222)(dxdddvzy3250)215(210023d8求平面1czbyax被三坐标面所割出的有限部分的面积解平面的方程可写为ybcxaccz所割部分在xOy面上的投影区域为}0,0,1|),{(yxbyaxyxD于是dxdybcacdxdyyzxzADD2222221)()(1222222221211bcacabdxdybcacD9在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解设所求矩形另一边的长度为H建立坐标系使半圆的直径在x轴上圆心在原点不妨设密度为1g/cm3由对称性及已知条件可知0yx即0ydxdyD从而022xRHRRydydx即0])[(21223RRdxHxR亦即031223RHRR从而RH32因此接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为R3210求曲抛物线yx2及直线y1所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线y1的转动惯量解抛物线yx2及直线y1所围成区域可表示为D{(xy)|1x1x2y1}所求转动惯量为105368])1(8[31)1()1(1132121122dxxdyydxdxdyyIxD11设在xOy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片占有平面闭域D{(xy)|x2y2R2y0}过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点POPa求半圆形薄片对质点P的引力解设P点的坐标为(00a)薄片的面密度为22221RMRM设所求引力为F(FxFyFz)由于薄片关于y轴对称所以引力在x轴上的分量Fx0而RDydadGmdayxymGF02/322202/3222)(sin)(RRdaGmdadGm02/322202/32220)(2)(sin)(ln422222RaRaRaRRGmMRDzdadGamdayxamGF02/322202/3222)()()1(2)(22202/3222RaaRGmMdaGamR