结构动力有限元(第21讲,12月21日)

第21讲结构动力有限元1、单元运动方程§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程一、单元杆端位移向量和杆端力向量yxp1p3p4p2p6p5u2u3u4u5u6u1111221331442552662,eeupxupyupupupxupyup§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程一、单元杆端位移向量和杆端力向量§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程(1,2,.....)iiiidTTUpdtuuui二、单元中的拉格朗日方程1.用杆端位移向量表示单元内部任一点位移2.用杆端位移向量表示单元动能3.用杆端位移向量表示单元势能4.用杆端位移向量表示单元杆端力向量§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程1、用杆端位移向量表示单元内部任一点位移123123456456utututNxNxNxNxNxNxutututeNxut61,iiiwxtNxut称为形状函数矩阵。123456NxNxNxNxNxNxNx§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程2121212eTeeTTeedTAwdxANuNudxAuNNudx2、用杆端位移向量表示单元动能001212leeTlTeeTeeeTdTuANNdxuumu§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程0leijijmANxNxdx其中：0lTemANNdx3、用杆端位移向量表示单元势能（1）、轴力单元xu1(t)u2(t)w(x,t)xP2(t)P1(t)EAm§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程1212eTTeedUEAwwdxEAuNNudx001212leeTlTeeTeeeUdUuEANNdxuuKu§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程0lTeKEANNdx其中：0leijijkEANxNxdx§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程yxp3p2p6p5u2u3u5u6（2）、弯曲单元§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程1212eTTeedUEIwwdxEIuNNudx001212leeTlTeeTeeeUdUuEINNdxuuKu§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程0leijijkEINxNxdx其中：()0lTeKEINNdx§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程4、用杆端位移向量表示单元杆端力向量弯曲单元的杆端力4ˆp1ˆpxu2(t)xu1(t)p1(t)p2(t)u3(t)p3(t)u4(t)p4(t)P(x,t)3ˆp2ˆpwxu3u4u2u1(a)(c)(b)§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程1234ˆˆˆˆˆTeppppp单元对接杆端力向量(作用在单元杆端处的杆端力)eeuu杆端虚位移向量:单元内任一点虚位移:,ewxtNu§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程(,)(,)edwpxtwdxpxtNudx单元虚功与杆端力向量：§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程0*ˆ(,)ˆTleeeTTeeeTeewpxtNdxupuppupu总虚功:§6.1用拉格朗日方程推导单元运动方程eeeeeMuKup最终，获得单元的矩阵运动微分方程：112221,iiiewxtNxutNxutNxutNxu一、轴力单元§6.2形状函数为多项式时的单元刚度矩阵式中：§6.2形状函数为多项式时的单元刚度矩阵121xNxlxNxl121xxNxNxNxll§6.2形状函数为多项式时的单元刚度矩阵1211NxNxNxll211111TNNl§6.2形状函数为多项式时的单元刚度矩阵01111lTeKEANNdxEAl1234Teuuuuu二、弯曲单元:41,eiiiwxtNxutNxu§6.2形状函数为多项式时的单元刚度矩阵23231223232323342323132,232,xxxxxNNlllllxxxxNNllll§6.2形状函数为多项式时的单元刚度矩阵1234NNNNN梁单元的形状函数N1N2N3N4刚度矩阵：2232212612664621261266264ellllllEIKlllllll§6.2形状函数为多项式时的单元刚度矩阵三、一般单元刚度矩阵（弯曲、轴向）：222232222000001260126064062000001260126062064elrlrllllllEIKllrlrllllllrIA其中：§6.2形状函数为多项式时的单元刚度矩阵1201,21126lTexxNxNxllAlmNANdx一、轴力单元§6.3一致质量矩阵采用与刚度矩阵一样（一致）的形状函数求质量矩阵。二、弯曲单元:2222156225413224133541315622420133224ellllllAlmllllll§6.3一致质量矩阵三、一般单元质量矩阵（弯曲、轴向）：§6.3一致质量矩阵222242000700001562205413022401337000140004200541301562201330224ellllllAlmllllll*10*20,1,llxptpxtdxlxptpxtdxl一、轴力单元§6.4单元等效杆端力向量二、弯曲单元:§6.4单元等效杆端力向量23*13023*223023*33023*4230,1323,2,323,llllxxptpxtdxlxxxptpxtldxlllxxptpxtdxlxxptpxtldxlleeeuTu§6.5坐标变换由结构力学矩阵位移法：cossin00,sincos00001etTttˆˆTeeeeTeeeeTTeeeeeeeeeeKTKTmTmTpTpTpppmuKup§6.5坐标变换eeuAUeuU与的关系一、拉格朗日方程推导结构运动方程：§6.6结构整体运动方程（一）1200000000ejjekksUUuIUIuUU式(6-46a)可更详细地写作：§6.6结构整体运动方程jjjjxUy11121212tTeeeetTTeeeeTTumuUAmAUUMU（二）、运动方程：§6.6结构整体运动方程11*1ˆˆtTeeeetTeeeetTTeeeeeMAmAKAKACPPPAPAP§6.6结构整体运动方程MUCUKUPFRFFFRFFFRFFFRFFFRFRRRFRRRFRRRRRpMMCCKKUUUMMCCKKUpUUFFFFFFFFFFRFFRFFRFFRMUCUKUpMUCUKUp§6.7支承条件的引入FRFFFRFFFRFFFRFFFRFRRRFRRRFRRRRRpMMCCKKUUUMMCCKKUpUU§6.7支承条件的引入FFFFFFFFFFRFFRFFRFFRMUCUKUpMUCUKUpR戴维的程序与结论具有集中质量的一维杆件的有限元计算2个单元时的质量、刚度矩阵、频率21141114M100100100200100100100K11.75965个单元时的质量、刚度矩阵、频率0.80.40.41.60.40.41.60.40.41.60.40.41.60.40.412.8M250250250500250250500250250500250250500250250250K121.75677.1087100个单元时的前3阶频率与振型010203040506070809010000.20.40102030405060708090100-0.500.50102030405060708090100-0.500.511.756226.9928313.1422