60考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

圆学子梦想铸金字品牌-1-温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点50离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、填空题1.（2012·湖南高考文科·Ｔ13）如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注：方差2222121()()()nsxxxxxxn，其中x为x1，x2，…，xn的平均数)【解析】1(89101315)115x，2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s6.8.【答案】6.8二、解答题2.（2012·浙江高考理科·Ｔ19）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.（1）求X的分布列.（2）求X的数学期望E（X）.圆学子梦想铸金字品牌-2-【解析】（1）X=3，4，5，6，35395(3)42CPXC，21543910(4)21CCPXC，1254395(5)14CCPXC，34391(6)21CPXC，所以X的分布列为：X3456P5421021514121(2)X的数学期望E（X）=15+80+75+129113=42213.3.（2012·陕西高考理科·Ｔ20）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：圆学子梦想铸金字品牌-3-Y12345P0.10.40.30.10.1（Ⅰ）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)PAPYPYPYPYPYPY0.10.30.30.10.40.40.22.（Ⅱ）方法一:X所有可能的取值为0，1，2.0X对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以(0)(2)0.5PXPY；1X对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以(1)(1)(1)(2)PXPYPYPY0.10.90.40.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以(2)(1)(1)0.10.10.01PXPYPY,所以X的分布列为X012P0.50.490.01∴00.510.4920.010.51EX.圆学子梦想铸金字品牌-4-方法二：X所有可能的取值为0，1，2.0X对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以(0)(2)0.5PXPY；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以(2)(1)(1)0.10.10.01PXPYPY；所以(1)1(0)(2)0.49PXPXPX；所以X的分布列为X012P0.50.490.01∴00.510.4920.010.51EX.4.（2012·辽宁高考理科·T19）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？圆学子梦想铸金字品牌-5-(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望()EX和方差()DX.附：22112212211212(),nnnnnnnnn【解题指南】(Ⅰ)据频率分布直方图可计算“体育迷”，“非体育迷”人数，按照提供的公式，计算相关数值，与所给数据比较，获得结论；（Ⅱ）将所有的基本事件罗列，很容易解决问题.【解析】(Ⅰ)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100(100.020100.005)25，“非体育迷”人数为75，则据题意完成22列联表：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表的数据代入公式计算：22100(30104515)2112212217525455511221221()1003.03033nnnnnnnnn22100(30104515)2112212217525455511221221()1003.03033nnnnnnnnn.因为3.0303.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.圆学子梦想铸金字品牌-6-（Ⅱ）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意，1~(3,)4XB，从而X的分布列为X0123P0331(1)4C12311()(1)44C22311()(1)44C3331()4CX的数学期望为13()344EXnp，X的方差为139()(1)34416DXnpp.5.（2012·安徽高考理科·Ｔ17）某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有nm道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量.（Ⅰ）求2Xn的概率.（Ⅱ）设mn，求X的分布列和均值（数学期望）.【解题指南】（I）根据2Xn得到两次调题均为A类型试题，进而求出概率；（Ⅱ）先求出随机变量X的可能取值，再求出取每个值的概率，列出分布列，求出均值.【解析】（I）2Xn表示两次调题均为A类型试题，概率为12nnmnmn.（Ⅱ）mn时，每次调用的是A类型试题的概率为12p，随机变量X可取,1,2nnn，其中X=n,X=n+1,X=n+2,分别意味着两次调题都是B类型试题、一次A类型试题和一次B类型试题（先A后B与先B后A）、圆学子梦想铸金字品牌-7-两次调题均为A类型试题，对应概率为21()(1)4PXnp，1(1)2(1)2PXnpp，21(2)4PXnp分布列是Xn1n2nP141214均值111(1)(2)1424EXnnnn.答：（Ⅰ）2Xn的概率为12nnmnmn；（Ⅱ）分布列（见上表），X的均值为1n.6.（2012·新课标全国高考理科·T18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17圆学子梦想铸金字品牌-8-枝？请说明理由.【解题指南】(1)根据题意建立利润与需求量的分段函数；(2)利用公式求期望与方差，注意随机变量X代表利润；（3）比较购买17枝与16支的期望，期望越大越好.【解析】（1）当16n时，16(105)80y.当15n时，55(16)1080ynnn，得：1080(15)()80(16)nnynNn.（2）（i）X可取60，70，80，(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7PXPXPX.X的分布列为X607080P0.10.20.7600.1700.2800.776EX.222160.160.240.744DX.（ii）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y，76.476得：应购进17枝.7.（2012·江西高考理科·Ｔ18）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，1，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）.圆学子梦想铸金字品牌-9-(1)求V=0的概率.(2)求V的分布列及数学期望.【解题指南】（1）列出V＝0时的三个点的坐标的可能情况，然后除以总的基本事件数即得概率，列举时若情况较多，可用排列组合的知识解决；（2）求出V取各个值时对应的概率，列分布列，求出数学期望.【解析】（1）从6个点中随机选取3个点总共有3620C种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有133412CC种，因此0V的概率为1230.205PV（2）V的所有可能取值为11240,,,,6333，因此V的分布列为V016132343P35120320320120由V的分布列可得31113234190.562032032032040EV8.（2012·山东高考理科·Ｔ19）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.圆学子梦想铸金字品牌-10-（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率.（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.【解题指南】（Ⅰ）利用间接法来求解，分两类，命中甲一次，命中乙一次.（Ⅱ）本题考查的是随机变量的分布列及数学期望，先列出得分的所有值，并求出每个得分所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.【解析】(Ⅰ)由于射手每次射击的结果相互独立，所以P（命中一次）=2323141313143367.(Ⅱ)由题意知得分X的可能取值为0,1,2,3,4,5，因此随机变量X的分布列为X012345P36112191319131圆学子梦想铸金字品牌-11-所以9.（2012·天津高考理科·Ｔ16）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去