第五章 平面向量与复数

1第五章平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．25．1平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB→的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a是一个与a同向的____________．－a|a|是一个与a________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法(1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量OB→就是a与b的________(如图1)．推广：A1A2→＋A2A3→＋…＋An－1An＝____________.图1图2②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中，BC→＝AD→＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a＋b＝____________(交换律)；(a＋b)＋c＝____________(结合律)；a＋0＝____________＝a.(2)向量的减法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝____________，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa＝____________；②当λ0时，λa与a的方向____________；当λ0时，λa与a的方向____________；当λ＝0时，λa＝____________.(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝____________；②(λ＋μ)a＝____________；③λ(a＋b)＝____________.4．两个向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠：31．(1)大小方向长度||AB→(2)长度为0任意(3)1个单位长度单位向量方向相反(4)相同相反非零共线向量平行(5)相等相同(6)相等相反(7)字母有向线段坐标2．(1)①起点终点和A1An→②对角线AC→③b＋aa＋(b＋c)0＋a(2)a－b3．(1)λa①|λ||a|②相同相反0(2)①μ(λa)②λa＋μa③λa＋λb4．b＝λa设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→解：AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→.故选A.(2015·东北三省联考)在四边形ABCD中，若AC→＝AB→＋AD→，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形解：依题意得AC→＝AB→＋BC→＝AB→＋AD→，则BC→＝AD→，因此BC∥AD且BC＝AD，故四边形ABCD一定是平行四边形．故选D.在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AM→＝mAB→，AN→＝nAD→(mn≠0)，若MN→∥BE→，则nm＝________.解：MN→＝AN→－AM→＝nAD→－mAB→，BE→＝BC→＋CE→＝AD→－12AB→，因为MN→∥BE→，且向量AD→和AB→不共线，所以n1＝－m－12，解得nm＝2.故填2.直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP→＝OA→＋12(AB→＋AC→)，则|AP→|＝________.解：如图，取BC边中点D，连接AD，则12(AB→＋AC→)＝AD→，OP→＝OA→＋12(AB→＋AC→)⇒OP→＝OA→＋AD→⇒OP→－OA→＝AD→⇒AP→＝AD→，因此|AP→|＝|AD→|＝1.故填1.类型一向量的基本概念给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也4相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则四点A，B，C，D构成平行四边形；④在▱ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是()A．2B．3C．4D．5解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．若AB→＝DC→，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.点拨：从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB→与向量CD→共线，则A，B，C，D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b为零向量，则a与c不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二向量的线性运算在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AG→.解法一：AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋23(AE→－AB→)＝AB→＋2312AC→－AB→＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.解法二：由于G是△ABC的中线BE与CF的交点，所以G为△ABC的重心．延长AG交BC于H，由重心的性质知，AG→＝23AH→＝23×12(AB→＋AC→)＝13a＋13b.点拨：(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．5(1)设P是△ABC所在平面内一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝0解：如图，根据向量加法的几何意义有BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，故PC→＋PA→＝0.故选B.(2)(2014·全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.AD→B.12AD→C.BC→D.12BC→解：EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→.故选A.类型三向量共线的充要条件及其应用已知A，B，C是平面内三个不相同的点，O是平面内任意一点，求证：向量OA→，OB→，OC→的终点A，B，C共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性．若OA→，OB→，OC→的终点A，B，C共线，则AB→∥BC→，所以存在实数m使得BC→＝mAB→，即OC→－OB→＝m(OB→－OA→)，所以OC→＝－mOA→＋(1＋m)OB→.令λ＝－m，μ＝1＋m，则λ＋μ＝－m＋1＋m＝1，即存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性．若OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1，则OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→，所以OC→－OB→＝λ(OA→－OB→)，即BC→＝λBA→，所以BC→∥BA→，又BC与BA有公共点B，所以A，B，C三点共线．综合(1)(2)可知，原命题成立．点拨：证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B，C所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB→＝λBC→.但证明两条直线AB∥CD，除了证明存在一个实数λ，使AB→＝λCD→外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．(1)已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解：BD→＝BC→＋CD→＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，所以A，B，D三点共线．故选A.(2)设两个非零