第三章 三角函数、解三角形第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第三章三角函数、解三角形第五节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用微知识·小题练微考点·大课堂拓视野·提素养★★★2018考纲考题考情★★★考纲要求真题举例命题角度1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题2017·全国卷Ⅰ·T9(5分)(三角函数图象平移)2017·山东高考·T16(12分)(三角函数表达式、最值)2016·全国卷Ⅰ·T12(5分)(三角函数图象对称性、单调性)2016·全国卷Ⅱ·T7(5分)(三角函数图象平移)2016·全国卷Ⅲ·T14(5分)(三角函数图象平移)1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式3．三角函数图象与性质的综合应用微知识·小题练自|主|全|排|查1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示。x______________________________ωx＋φ_________________________________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φω0π2π3π22π2.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下3．简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2π__________φωx＋φ重点微提醒函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种作法：1．五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。2．图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”)。小|题|快|速|练一、回归教材1．(必修4P70A组T16改编)函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()解析当x＝0时，y＝sin－π3＝－32，排除B，D，当x＝π6时，y＝0，排除C。故选A。答案A2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现。下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为____________。解析设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝2πω，所以ω＝π2，所以y＝sinπ2x＋φ＋6。因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sinπ2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π2，所以y＝sinπ2x－π2＋6＝6－cosπ2x。答案y＝6－cosπ2x二、小题查验1．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析最小正周期为T＝2ππ3＝6；由2sinφ＝1，得sinφ＝12，又|φ|π2，故φ＝π6。故选A。答案A2．要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位解析y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，故只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位即可得到函数y＝sin4x－π3的图象。故选B。答案B3．已知直线x＝5π12和点π6，0恰好是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2图象的相邻的对称轴和对称中心，则ω，φ的值分别是()A．2，－π6B．2，－π3C．4，π3D．4，π6解析由题意可知T4＝5π12－π6＝π4，T＝π＝2πω，所以ω＝2。又因为sin2×π6＋φ＝0，所以φ＝kπ－π3，k∈Z，当k＝0时，φ＝－π3。故选B。答案B4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝_________。解析T＝2π3＝2πω，所以ω＝3。答案35．若将函数f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值为________。解析由题意知，平移后所得函数为f(x)＝sin2x－2φ＋π4，若其图象关于y轴对称，则sin－2φ＋π4＝±1，所以－2φ＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝－kπ2－π8(k∈Z)，当k＝－1时，φ取得最小正值为3π8。答案3π8微考点·大课堂考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【典例1】某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式。(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心。(3)说明函数f(x)的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的。解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50则函数解析式为f(x)＝5sin2x－π6。(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，因此g(x)＝5sin2x＋π6－π6＝5sin2x＋π6。因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，令2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2－π12，k∈Z，所以y＝g(x)图象的对称中心为kπ2－π12，0，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为－π12，0。(3)把y＝sinx的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到y＝sinx－π6的图象，再把y＝sinx－π6的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x－π6的图象，最后把y＝sin2x－π6上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y＝5sin2x－π6的图象。1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移φω(ω0，φ0)个单位长度而非φ个单位长度。2．平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值。【变式训练】(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析把曲线C1：y＝cosx各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得曲线y＝cos2x，再向左平移π12个单位长度，得曲线y＝cos2x＋π12＝cos2x＋π6＝sinπ2＋2x＋π6＝sin2x＋2π3。故选D。答案D求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【典例2】(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3解析(1)由题图知，A＝2，T2＝π3－－π6＝π2，故T＝π，ω＝2ππ＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)。因为图象过点π3，2，所以2sin2×π3＋φ＝2，则2π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，取k＝0，则φ＝－π6，故y＝2sin2x－π6。故选A。答案(1)A(2)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10解析(2)设水深的最大值为M，由题意结合函数图象可得3＋k＝M①，k－3＝2②，解得M＝8。故选C。答案(2)C【解题导引】(1)由最高点或最低点的纵坐标求A，由周期(可求半个周期)求ω，最后根据最高点的坐标求φ。(2)由y＝3sinπ6x＋φ＋k的部分图象可得ymax＝3＋k，ymin＝k－3，整理可求最大值。【母题变式】若本例(2)中，增加条件“10时水深达到最小值，且|φ|π2”，求水深不小于6.5m的有多长时间。解由典例2(2)得k＝5，所以y＝3sinπ6x＋φ＋5，因为当x＝10时，y＝2，所以2＝3sinπ6×10＋φ＋5，sin5π3＋φ＝－1，所以5π3＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，所以φ＝2kπ－π6，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝－π6。所以y＝3sinπ6x－π6＋5，由3sinπ6x－π6＋5＝6.5，得sinπ6x－π6＝0.5，所以π6x－π6＝2kπ＋π6或2kπ＋5π6，k∈Z，所以x＝12k＋2或12k＋6，k∈Z。又因为x∈[6,18]，所以x＝6或14或18，结合图象可知14时到18时水深不小于6.5m，共计18－14＝4(小时)。确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的解析式的步骤1．求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2。2．求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT。3．求φ，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入。(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口。具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π。【拓展提升】(2018·黄山模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A。风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为()A．5米B．(4＋7)米C．(4