第三章 三角函数、解三角形第六节 解 三 角 形

第三章三角函数、解三角形第六节解三角形微知识·小题练高考复习顶层设计数学理赢在微点无微不至第2页返回导航★★★2018考纲考题考情★★★考纲要求真题举例命题角度1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017·全国卷Ⅰ·T17(12分)(正、余弦定理)2017·全国卷Ⅱ·T17(12分)(正、余弦定理)2017·全国卷Ⅲ·T17(12分)(正、余弦定理)2016·全国卷Ⅰ·T17(12分)(正、余弦定理，三角形面积)2016·全国卷Ⅱ·T13(5分)(解三角形)1.正弦定理和余弦定理2．解三角形的综合应用微知识·小题练自|主|全|排|查1．正弦定理asinA＝__________＝___________＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。变式：a＝___________，b＝____________，c＝____________。a∶b∶c＝____________∶____________∶____________。bsinBcsinC2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2．余弦定理a2＝_____________________；b2＝______________________；c2＝______________________。变式：cosA＝____________；cosB＝____________；cosC＝__________。sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA。b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab3．解三角形(1)已知三边a，b，c。运用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知两边a，b及夹角C。运用余弦定理可求第三边c。(3)已知两边a，b及一边对角A。先用正弦定理，求sinB，sinB＝______。①A为锐角时，若absinA，________；若a＝bsinA，________；若bsinAab，________；若a≥b，________。②A为直角或钝角时，若a≤b，________；若ab，________。(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边。bsinAa无解一解两解一解无解一解4．三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)。(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R。(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)。重点微提醒在△ABC中，常有以下结论：1．∠A＋∠B＋∠C＝π。2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2。4．tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC。5．∠A∠B⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB。小|题|快|速|练一、回归教材1．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A．π6B．π3C．2π3D．5π6解析因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝2π3。故选C。答案C2．(必修5P24A组T6改编)如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为()A．2522mB．252mC．502mD．503m解析在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得ACsin30°＝ABsin45°，即5012＝AB22，所以AB＝502(m)，故选C。答案C3．(必修5P20A组T11改编)在△ABC中，A＝π3，AB＝2，且△ABC的面积为32，则边BC的长为_________。解析因为S＝12AB·ACsinA＝12×2×ACsinπ3＝32，所以AC＝1。由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即BC2＝22＋12－2×2×1×12＝3，解得BC＝3。答案3二、小题查验1．在△ABC中，已知a2－b2－c2＝2bc，则B＋C＝()A．π4B．3π4C．5π4D．π4或3π4解析cosA＝b2＋c2－a22bc＝－2bc2bc＝－22，所以A＝34π，那么B＋C＝π4。故选A。答案A2．在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则C＝()A．π4或3π4B．3π4C．π4D．π6解析BC＝a＝3，AB＝c＝6，由正弦定理，得sinC＝csinAa＝22，又a＝3，c＝6，所以ac，即AC，故C为锐角。所以C＝π4。故选C。答案C3．在△ABC中，若sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析由A＋B＝π－C，得sin(A＋B)＝sinC，则sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C可化为sin(A－B)＝sin(A＋B)⇒sinAcosB－cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，整理得cosAsinB＝0。因为0A，Bπ，所以cosA＝0，sinB≠0，则A＝π2，即此三角形为直角三角形。故选B。答案B4．(2017·浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年。“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝_________。解析如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S6＝6×12×12×sin60°＝332。答案3325．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝_________。解析根据正弦定理，可得csinC＝bsinB⇒sinB＝bcsinC＝63×32＝22，又bc，所以BC＝60°，可得B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°。答案75°