理论力学 定理综合总结

1三大定理(建立运动量与力关系)◎质心运动定理(动量定理)◎动量矩定理◎动能定理得到一组独立方程从另一个角度分析动力学问题殊途同归动力学基础：牛二一、矢量动力学二、分析力学2第七节普遍定理综合应用•动量定理–动量定理、质心运动定理、动量守恒定理求速度求加速度与约束力求速度•动量矩定理–对固定点、质心、任意动点的动量矩定理•动能定理–动能定理（微分和积分形式）、机械能守恒定理方便解决只有一个运动未知量(一个自由度)的问题只出现做功的力，可求速度加速度取矩轴约束力不出现，可求加速度3公式归纳动力学基本定理的基础—质点动力学基本方程Fvtmd)d(4动力学基本定理序号定理微分形式积分形式1动量定理2动量矩定理O—静点或C—质心O—静点或C—质心3动能定理WTδdWTT12niiFtp1eddniiIpp1e12niiOOFMtL1e)(ddniiCCFMtL1e)(ddniiOOOIMLL1e12)(niiCCCIMLL1e12)(5基本量的运算序号基本量一般质点系刚体1动量2动量矩O’—任意点平动刚体：——O’为任意点定轴转动刚体：——z为转轴平面运动刚体：——O’为任意点niiiioOvmrL1'COCLrp''OOCLrmvzzLJ'zOCCzLrmvJCpmvCpmv6基本量的运算（续）序号基本量一般质点系刚体3动能柯尼希定理（C为质心）平动刚体定轴转动刚体Z为转轴平面运动刚体C—质心4功重力的功：弹性力的功：刚体上力矩、力偶的功：5势能重力势能：弹性势能：2211122nCiiCiTmvmv221122CCTmvJ212Tmv212zTJdCWFrzFyFxFzyxdddC12()CCWmgzz22121()2WkdCWM0),,(AAWzyxV10()CCVmgzz22101()2Wk7动力学问题的方程数0CpL刚体的动力学方程数与刚体的运动形式无关。空间刚体简化为平面刚体,要有条件:定轴转动刚体:即质量对称面垂直于转轴。平面（x、y）运动刚体:即质量对称面平行于平面运动平面研究对象质点平面2空间3刚体平面3空间60OpL1、任何一个质量不变的质点，其动量发生改变时，质点的动能必有变化。基本概念以下说法对不对？2、任何一个质量不变的质点，其动能发生改变时，质点的动量不一定变化。3、如果某质点系的动能很大，则该质点系的动量也一定很大。4、作平面运动刚体的动能等于它随基点平移的动能和绕基点转动的动能之和。3、自行车由静止到运动过程中，作用于主动轮上向前的摩擦力作正功。2、已知均质杆长L，质量为m，端点B的速度为，则AB杆的动能为：基本概念填填空！232mv对瞬心的动量矩：213ILml23mvl是不是每个时刻对该时刻瞬心的动量矩都可写成：213ILml思考：能否对该瞬心使用动量矩定理？形式如何？1、两均质圆盘A，B，质量相等，半径相同。置于光滑水平面上，分别受到F，F’的作用，由静止开始运动。若F=F’，则在运动开始以后的任一瞬时，两圆盘动能相比较是________________。TATB如科夫斯基凳的分析问题：1、为何凳子的转速会变化？2、人与哑铃质点系的动能变化如何？3、动能变化是什么力做功引起的？11例1：质量为m1的三角块放置光滑平面上，有一质量为m2的小球从斜面上滚下(无滑动)。试求：三角块滑动的加速度。解：2225CJmr球：2222221211(cos)(sin)22CvTmvvvJr21121vm1v2v2mg1mgFN2vv1C222212222110221(cos)(sin)211sin22CmvvvvJmvTmgxr动能定理：两边对t求导：22211121222211122coscos2sin5mvavaavvamvamvamgv12例2：质量为m1的三角块放置光滑平面上，有一质量为m2的小球从斜面上滚下(无滑动)。试求：三角块滑动的加速度。1v2v2mg1mgFN2vv1C两边对t求导：22211121222211122coscos2sin5mvavaavvamvamvamgv[整体]“x”11212(cos)0mamaa代入(1):(1)12122()cosmmaam12221222()7[cos]sin5cosmmmvamgvm(恰好没有带v1的项)222121cos)(57cossinmmmgma13例2：匀质圆盘质量为m，半径为R，弹簧刚度为k，CA＝2R为弹簧原长，在常力矩M作用下，由最低位置无初速度地在铅垂平面内绕O轴向上转。试求达到最高位置时，轴承O的约束力。解：（1）求由动能定理01T222222024322121mRmRmRJT)(222221kRPMW])222(0[222RRkRPM2343.22kRRmgM运动、受力222322.3434mRMRmgkR)343.02(34222kRRmgMmR14)343.02(34222kRRmgMmR（2）求[轮]：对转轴动量矩定理45cos0FRMJ21)222(232RRRkMmR223/)586.0(2mRkRM（3）由质心运动定理求Fx、Fy22(0.586)3tcMkRaRmR质心加速度224(20.343)3ncaRMRmgkRmR[轮]：应用质心运动定理cos45cos45tcxncymaFFmaFPFRMkRmgFkRMRFyx189.4043.1667.3196.032CanCaC15已知：AB＝l、质量为m，B端放在光滑水平面上，开始时杆静立于铅直位置，受扰动后，杆倒下。求：杆运动到与铅直位置线成角时，杆的角速度、角加速度和地面反力。例3受力分析、运动分析只有重力做功，用动能定理求1未知2未知质心水平方向速度、加速度均为零X向质心运动定理：y向质心运动定理对质心动量矩定理mgyF16已知：AB＝l、质量为m，B端放在光滑水平面上，开始时杆静立于铅直位置，受扰动后，杆倒下。求：杆运动到与铅直位置线成角时，杆的角速度、角加速度和地面反力。例3mgyF求、：由动能定理)cos(210212122llmgJmcc解：0cxmaX向质心运动定理：0cxa00cxcxvvmgyF17)cos(210212122llmgJmcc代入方程：)cos1(12)1sin3(22gl1sin3)cos1(1222lg(1)对(1)式求导：)1sin3(22sin3sin12sin12cossin6)1sin3(22222llggll建立和关系，cv2121sin2mlJlvccI为瞬心，则CvIBv18)1sin3(22sin3sin1222llgcos2lFJyC对质心动量矩定理：)1sin3(22sin3sin12cos1212cos2222llglmllJFCycos)1sin3(2sinsin4422lgmmgyF22222222011111222322322AccBmmmmTvmvrv解:300AM0CBmgmg21mg31FNFd[系统]0vAvCvB01T例4：已知：mA=m，mB=m/2，mC=m/3，鼓轮的回转半径为，质量为m，鼓轮小半径为r，大半径为R，外力偶M，轮C的半径为r，物体A接触面的摩擦因数为fd，系统初始静止，试求物体A的速度（表示成物体A位移xA的函数）和加速度，以及C轮左侧绳子的张力（表示成aA的函数）。0ARv02Crr2ABCCvvvrrR0AvR022ACvR2222221(1)24ArTmvRR代入，得：C2222221(1)24ArTmvRR12d135()2212AMrWxmgfRRAAxRrRRrfgRmMv2222d41)6531(22112TTW222221(1)24ArmvRR)1252321(dRrfmgRMxAAxR0BCCxxrrrC0212d0sin30cos3032AAcBmmWmgxmgfxMgxgx300AM0CBmgmg21mg31FNFd0vAvCvB0AxR022ABCxxxrrR代入，得：由动能定理：解得：C222221(1)24ArmvRR)1252321(dRrfmgRMxA300AM0CBmgmg21mg31FNFd0vAvCvB由动能定理：对上式两边求导数：2222(1)4AArmvaRRd135()2212AMrvmgfRRd2222135()2212(1)4AMrmgfRRarmRR[轮C和物块B]TT1T11()32ICCCLJmmvrC212AvmrR21112()232AamrTrmmgrR对I点用动量矩定理I15412AaTmrmgR或：分别隔离B与C可以对C点用动量矩定理吗？22300AM0CBmgmg21mg31FNFd0vAvCvBTT1TCI问题：三段绳子的张力相同吗？23例5：系统如图所示，已知：，圆槽半径R。初始时系统无初速，=0，试求运动时板E、D的约束力(不计摩擦)。0,3,ABmmmmm解：取小球B和物块A为研究对象，应用动能定理求运动2222121BBAAvmvmT01TRvvBA22)(2RmTsin21gRmgRmWBAsin3mgRmgR2112WTTsin322ggRRgRg4)cos3(2)sin3(2R0mABEDAvBv24RBEDEFg0mgm3gmDxFDyFAvBv取板、物块A和小球B为研究对象应用质点系的动量定理和动量矩定理求约束力对静点D的动量矩：)cos1(sin2RvmRvmRvmLByBBxBAAD)cos7(2mRLD)(ddiDDMtLFEF利用系统对D点的动量矩定理：系统的动量在x轴上的投影：sinmRvmpBxBx利用动量定理：ddxxpFtDxF同理：ddyypFtDyF[系统]25EFDxF0Rg0mBEDEFgm3gmDxFDyF26例6：系统在铅垂面内运动。初始时AB杆水平，系统无初速释放，轮纯滚动。求当AB杆运动到时，AB杆的角速度和角加速度和地面作用在圆盘上的约束力。不计杆的质量。045BA光滑纯滚RgmgmRLAB4解：系统具有一个运动未知量1：求运动量，速度和加速度sin212121222gLmJvmvmABBBBAAsin4sin42122222mgRmRmRBBvAv,BBA,,aafFNF2：求约束力[圆盘B]RFJfBBfF[系统]:y向质心运动定理ANFNBAAyAFgmmam)(NF27已知：OA杆质量m＝40kg，重心位置l＝1m，cz＝0.5m，小车质量M＝200kg，h＝1.5m，＝0＝60时系统静止。力偶L＝1046Nm