理论力学5―点的运动学描述和刚体的基本运动1

运动学运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括:运动方程、轨迹、速度和加速度。引言物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固连在参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来描述物体的运动才有意义。时间概念要明确:瞬时t和时间间隔Δt点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。5.1点的运动学描述研究点的运动的三种方法矢量法直角坐标法自然坐标法1.运动方程()trrMrO选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即r5.1.1矢量法此方程即为矢量形式的点的运动方程。2.速度5.1.1矢量法动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。0limttrv()rtAMBOM'v动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。r()rt+tddtr3.加速度220ddlimddttttvvra点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。5.1.1矢量法有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。avr这组方程即为直角坐标形式的点的运动方程。123()()()xftyftzftxyzrijk如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：5.1.2直角坐标法MrOkijyyxxzzxyzxyzvvvvrijkijk速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。速度5.1.2直角坐标法若已知速度在各个方向上的投影，则速度的大小为:222zyxv其方向余弦为cos(,),cos(,),cos(,)xyzvvvvivjvkxyzrijkdk=kdxyzxyzvavvvaaatijij加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。加速度5.1.2直角坐标法xyzvvvvijk若已知加速度在三个坐标轴上的投影，则加速度的大小为222222zyxaaaazyx其方向余弦为cos(,),cos(,),cos(,)xyzaaaaiajak,,xxyyzzavxavyavz例5-1曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄OA绕轴O转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度w绕轴O转动，即j＝wt，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。（通常机构中，r与l的比值较小）解：取滑块B的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标原点。在经过t秒后，此时B点的坐标为：coscosxOBOCCBrljABOClxwxj整理可得滑块B的运动方程：22cos1sin)xrtltwwsinsinrlj22cos1()sinrxrlljjrl令coscosxOBOCCBrljABOClxwxj由此可得滑块B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrttt2d(coscos2)dvarttwww将右边最后一项展开：2(1)(coscos2)44xlrttww22cos1sin)xrtltww222244111sin1sinsin......28tttwww)(tfs这就是弧坐标形式的点的运动方程。5.1.3自然坐标法1弧坐标动点M在轨迹上的位置也可以这样来确定：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间t的单值连续函数，即MOs(-)(+)2自然轴系(P95)t1t'1tM15.1.3自然坐标法即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然坐标轴。且三个方向单位矢量满足右手法则，即密切面法平面切线主法线副法线Mnbttbn5.1.3自然坐标法曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在点M处的曲率。曲率的倒数称为曲线在点M处的曲率半径。曲率01dlimdskssjjMM'△s△jtt'5.1.3自然坐标法为法线方向单位矢量nτ0dlimdsssττ两个相关的计算结果(当Δt→0)2sin2jjτ01limssjnnOMM'tt't△j△s△tABnjτ5.1.3自然坐标法3点的速度00dlimlimdttsstttrvddsvtvττ用矢量表示为：在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。5.1.3自然坐标法rt()AMBOM'rrt+t()vΔs4点的切向加速度和法向加速度ddsvtvττtntndddd()ddddvvvaattttvτaττaaτn由于dddddddsdddssvttstτττn所以2nvatddvat00d1limlimdsssssjττnn5.1.3自然坐标法2tnddvvtaaaτn2tnddddvvvttτaτantana上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度大小随时间的变化率；分矢量的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。4点的切向加速度和法向加速度5.1.3自然坐标法全加速度为at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式决定：22tnaaa大小：方向：tnaaatn||tanaa5.1.3自然坐标法200t12ssvtattt0tddaCvatvvat匀速曲线运动:即动点速度的代数值保持不变。0ssvt如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规律。两种特殊情况例5-2点的运动方程为x＝2sin4tm,y＝2cos4tm,z＝4tm，求点运动轨迹的曲率半径。解:点的速度和加速度在三个坐标轴上的投影分别为:8cos4xt32sin4xt8sin4yt32cos4yt4z0z22280m/svxyz222232m/saxyzt0av2n80va22tnn32aaaa2.5mMMjRoj例5-3半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动,,试分析轮子边缘一点M的运动。twj旋轮线取坐标系Axy如图所示，并设点M所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，点M的坐标为这就是旋轮线的参数方程。joRCAxyMsin(sin)xACOMRttjwwcos(1cos)yOCOMRtjw点M的速度为:当点M与地面接触，即时，点M速度等于零。2kjjoRCAxyM22sincosaxiyjrtirtj(sin)xRttww(1cos)yRtw(1cos)sinvxiyjrtirtj习题分析5-15AOφBDCxy